MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftermo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftermo2 17966
Description: A terminal object is an initial object in the opposite category. An alternate definition of df-termo 17947 depending on df-inito 17946. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
dftermo2 TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)))

Proof of Theorem dftermo2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-termo 17947 . 2 TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)})
2 eqid 2726 . . . . . 6 (oppCatβ€˜π‘) = (oppCatβ€˜π‘)
32oppccat 17677 . . . . 5 (𝑐 ∈ Cat β†’ (oppCatβ€˜π‘) ∈ Cat)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
52, 4oppcbas 17672 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(oppCatβ€˜π‘))
6 eqid 2726 . . . . 5 (Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘)) = (Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))
73, 5, 6initoval 17955 . . . 4 (𝑐 ∈ Cat β†’ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)) = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏)})
8 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜π‘) = (Hom β€˜π‘)
98, 2oppchom 17669 . . . . . . . 8 (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) = (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)
109eleq2i 2819 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) ↔ β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž))
1110eubii 2573 . . . . . 6 (βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) ↔ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž))
1211ralbii 3087 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž))
1312rabbii 3432 . . . 4 {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏)} = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)}
147, 13eqtrdi 2782 . . 3 (𝑐 ∈ Cat β†’ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)) = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)})
1514mpteq2ia 5244 . 2 (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)})
161, 15eqtr4i 2757 1 TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2556  βˆ€wral 3055  {crab 3426   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Hom chom 17217  Catccat 17617  oppCatcoppc 17664  InitOcinito 17943  TermOctermo 17944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-oppc 17665  df-inito 17946  df-termo 17947
This theorem is referenced by:  dftermo3  17968
  Copyright terms: Public domain W3C validator