Theorem dftermo2 17707

Description: A terminal object is an initial object in the opposite category. An alternate definition of df-termo 17688 depending on df-inito 17687. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dftermo2	⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))

Proof of Theorem dftermo2

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-termo 17688	. 2 ⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)})
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
3	2	oppccat 17421	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘𝑐)
5	2, 4	oppcbas 17416	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘(oppCat‘𝑐))
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝑐)) = (Hom ‘(oppCat‘𝑐))
7	3, 5, 6	initoval 17696	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (InitO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏)})
8		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝑐) = (Hom ‘𝑐)
9	8, 2	oppchom 17413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) = (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)
10	9	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) ↔ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎))
11	10	eubii 2585	. . . . . 6 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) ↔ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎))
12	11	ralbii 3091	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎))
13	12	rabbii 3406	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)}
14	7, 13	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (InitO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)})
15	14	mpteq2ia 5177	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)})
16	1, 15	eqtr4i 2769	1 ⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2568  ∀wral 3064  {crab 3068   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  Basecbs 16900  Hom chom 16961  Catccat 17361  oppCatcoppc 17408  InitOcinito 17684  TermOctermo 17685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-tpos 8030  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-hom 16974  df-cco 16975  df-cat 17365  df-cid 17366  df-oppc 17409  df-inito 17687  df-termo 17688

This theorem is referenced by:  dftermo3  17709