Theorem dftermo2 17911

Description: A terminal object is an initial object in the opposite category. An alternate definition of df-termo 17892 depending on df-inito 17891. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dftermo2	⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))

Proof of Theorem dftermo2

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-termo 17892	. 2 ⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)})
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
3	2	oppccat 17628	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘𝑐)
5	2, 4	oppcbas 17624	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘(oppCat‘𝑐))
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝑐)) = (Hom ‘(oppCat‘𝑐))
7	3, 5, 6	initoval 17900	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (InitO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏)})
8		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝑐) = (Hom ‘𝑐)
9	8, 2	oppchom 17621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) = (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)
10	9	eleq2i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) ↔ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎))
11	10	eubii 2580	. . . . . 6 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) ↔ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎))
12	11	ralbii 3078	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎))
13	12	rabbii 3400	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘(oppCat‘𝑐))𝑏)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)}
14	7, 13	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (InitO‘(oppCat‘𝑐)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)})
15	14	mpteq2ia 5184	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ {𝑎 ∈ (Base‘𝑐) ∣ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑐)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑏(Hom ‘𝑐)𝑎)})
16	1, 15	eqtr4i 2757	1 ⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563  ∀wral 3047  {crab 3395   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Hom chom 17172  Catccat 17570  oppCatcoppc 17617  InitOcinito 17888  TermOctermo 17889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-oppc 17618  df-inito 17891  df-termo 17892

This theorem is referenced by:  dftermo3  17913  oppctermo  49336  dftermo4  49602