MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftermo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftermo2 18002
Description: A terminal object is an initial object in the opposite category. An alternate definition of df-termo 17983 depending on df-inito 17982. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
dftermo2 TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)))

Proof of Theorem dftermo2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-termo 17983 . 2 TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)})
2 eqid 2728 . . . . . 6 (oppCatβ€˜π‘) = (oppCatβ€˜π‘)
32oppccat 17713 . . . . 5 (𝑐 ∈ Cat β†’ (oppCatβ€˜π‘) ∈ Cat)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
52, 4oppcbas 17708 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(oppCatβ€˜π‘))
6 eqid 2728 . . . . 5 (Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘)) = (Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))
73, 5, 6initoval 17991 . . . 4 (𝑐 ∈ Cat β†’ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)) = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏)})
8 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜π‘) = (Hom β€˜π‘)
98, 2oppchom 17705 . . . . . . . 8 (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) = (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)
109eleq2i 2821 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) ↔ β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž))
1110eubii 2574 . . . . . 6 (βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) ↔ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž))
1211ralbii 3090 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž))
1312rabbii 3436 . . . 4 {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜(oppCatβ€˜π‘))𝑏)} = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)}
147, 13eqtrdi 2784 . . 3 (𝑐 ∈ Cat β†’ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)) = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)})
1514mpteq2ia 5255 . 2 (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘))) = (𝑐 ∈ Cat ↦ {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏(Hom β€˜π‘)π‘Ž)})
161, 15eqtr4i 2759 1 TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitOβ€˜(oppCatβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2557  βˆ€wral 3058  {crab 3430   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  Hom chom 17253  Catccat 17653  oppCatcoppc 17700  InitOcinito 17979  TermOctermo 17980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-hom 17266  df-cco 17267  df-cat 17657  df-cid 17658  df-oppc 17701  df-inito 17982  df-termo 17983
This theorem is referenced by:  dftermo3  18004
  Copyright terms: Public domain W3C validator