Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem6 38706
Description: Lemma for dia2dim 38714. Eliminate auxiliary translations 𝐺 and 𝐷. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem6.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem6.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem6.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem6.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem6.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem6.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem6.y 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem6.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem6.pl = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem6.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem6.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem6.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem6.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem6.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem6.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem6.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem6.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem6.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem6.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem6
Dummy variables 𝑔 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem6.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dia2dimlem6.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 dia2dimlem6.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 dia2dimlem6.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
5 dia2dimlem6.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 dia2dimlem6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dia2dimlem6.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dia2dimlem6.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9 dia2dimlem6.q . . . 4 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
10 dia2dimlem6.u . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
11 dia2dimlem6.v . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
12 dia2dimlem6.p . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 dia2dimlem6.f . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
14 dia2dimlem6.rf . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
15 dia2dimlem6.uv . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
16 dia2dimlem6.ru . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16dia2dimlem1 38701 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
1813simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐹𝑇)
192, 5, 6, 7ltrnel 37776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
201, 18, 12, 19syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
212, 5, 6, 7cdleme50ex 38196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ∃𝑑𝑇 (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃))
221, 17, 20, 21syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑇 (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃))
232, 5, 6, 7cdleme50ex 38196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑄)
241, 12, 17, 23syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑄)
25 dia2dimlem6.y . . . . . . . 8 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
26 dia2dimlem6.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
27 dia2dimlem6.pl . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑌)
28 dia2dimlem6.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
29 dia2dimlem6.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3013ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31103ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
32113ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
33123ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
34133ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
35143ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
36153ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → 𝑈𝑉)
37163ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
38 dia2dimlem6.rv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
39383ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
40 simp21 1207 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → 𝑔𝑇)
41 simp22 1208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑔𝑃) = 𝑄)
42 simp23 1209 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → 𝑑𝑇)
43 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃))
442, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25, 26, 27, 28, 29, 9, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 43dia2dimlem5 38705 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) ∧ (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
45443exp 1120 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑃) = 𝑄𝑑𝑇) → ((𝑑𝑄) = (𝐹𝑃) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))))
46453expd 1354 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔𝑇 → ((𝑔𝑃) = 𝑄 → (𝑑𝑇 → ((𝑑𝑄) = (𝐹𝑃) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))))))
4746rexlimdv 3193 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑄 → (𝑑𝑇 → ((𝑑𝑄) = (𝐹𝑃) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉))))))
4824, 47mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑑𝑇 → ((𝑑𝑄) = (𝐹𝑃) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))))
4948rexlimdv 3193 . 2 (𝜑 → (∃𝑑𝑇 (𝑑𝑄) = (𝐹𝑃) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉))))
5022, 49mpd 15 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wrex 3054   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  lecple 16675  joincjn 17670  meetcmee 17671  LSSumclsm 18877  LSubSpclss 19822  LSpanclspn 19862  Atomscatm 36900  HLchlt 36987  LHypclh 37621  LTrncltrn 37738  trLctrl 37795  DVecAcdveca 38639  DIsoAcdia 38665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-riotaBAD 36590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-undef 7968  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-0g 16818  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796  df-tgrp 38380  df-tendo 38392  df-edring 38394  df-dveca 38640  df-disoa 38666
This theorem is referenced by:  dia2dimlem7  38707
  Copyright terms: Public domain W3C validator