Theorem difmod0 16344

Description: The difference of two integers modulo a positive integer equals zero iff the two integers are equal modulo the positive integer. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))

Proof of Theorem difmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		zcn 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		negsub 11505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
7	6	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
8	7	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁))
9	8	eqeq1d 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = 0))
10		znegcl 12628	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
11		summodnegmod 16343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (--𝐵 mod 𝑁)))
12	10, 11	syl3an2 1180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (--𝐵 mod 𝑁)))
13	2	negnegd 11559	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
14	13	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝐵 = 𝐵)
15	14	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (--𝐵 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
16	15	eqeq2d 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (--𝐵 mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
17	9, 12, 16	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099   + caddc 11102   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12232  ℤcz 12590   mod cmo 13901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fl 13824  df-mod 13902  df-dvds 16310

This theorem is referenced by:  modmkpkne  47992  mod2addne  47995  pgnbgreunbgrlem2lem1  48767  pgnbgreunbgrlem2lem2  48768  pgnbgreunbgrlem2lem3  48769