Theorem difmod0 16367

Description: The difference of two integers modulo a positive integer equals zero iff the two integers are equal modulo the positive integer. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))

Proof of Theorem difmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		zcn 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		negsub 11521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
7	6	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
8	7	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁))
9	8	eqeq1d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = 0))
10		znegcl 12644	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
11		summodnegmod 16366	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (--𝐵 mod 𝑁)))
12	10, 11	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (--𝐵 mod 𝑁)))
13	2	negnegd 11575	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝐵 = 𝐵)
15	14	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (--𝐵 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
16	15	eqeq2d 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (--𝐵 mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
17	9, 12, 16	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   + caddc 11118   − cmin 11456  -cneg 11457  ℕcn 12248  ℤcz 12606   mod cmo 13920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fl 13843  df-mod 13921  df-dvds 16333

This theorem is used by:  modmkpkne  48162  mod2addne  48165  pgnbgreunbgrlem2lem1  48937  pgnbgreunbgrlem2lem2  48938  pgnbgreunbgrlem2lem3  48939