Theorem fxpsdrg 33403

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a division ring 𝑊 is a sub-division-ring. Since sub-division-rings of fields are subfields (see fldsdrgfld 20867), (𝐶FixPts𝐴) might be called the fixed subfield under 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
fxpsdrg.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
fxpsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsdrg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsdrg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)
2		fxpsubm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
4		fxpsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
5		fxpsubm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
6		fxpsubrg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	2, 3, 4, 5, 6	fxpsubrg 33402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
8	6	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
9	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑊 ∈ DivRing)
10	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ DivRing)
11		gaset 19351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
12	5, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
13	12, 5	fxpss 33394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
14	13	ssdifssd 4103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝐶)
15	14	sselda 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ∈ 𝐶)
16	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
17		eldifsni 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
18	17	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
19	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
20		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
21		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	3, 20, 21	drngunit 20806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑧 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))))
23	22	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
24	10, 16, 19, 23	syl12anc 849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
25		rhmunitinv 20582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
26	8, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
27		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invr‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
28		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑊) = (invr‘𝑊)
29	3, 21, 28, 9, 15, 18	drnginvrcld 20826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
31		ovexd 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
32	4, 27, 30, 31	fvmptd3 7003	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
33		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
34		ovexd 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
35	4, 33, 16, 34	fvmptd3 7003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
36	5	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
37	36	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
38		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}))
39	38	eldifad 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
40		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	2, 37, 39, 40	fxpgaeq 33397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
42	35, 41	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
43	42	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
44	26, 32, 43	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
45	44	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
46	2, 36, 29	isfxp 33396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → (((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧)))
47	45, 46	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
48	47	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
49	28, 21	issdrg2 20864	. 2 ⊢ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴)))
50	1, 7, 48, 49	syl3anbrc 1360	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904  {csn 4585   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   GrpAct cga 19347  Unitcui 20425  inv_rcinvr 20457   RingHom crh 20539  SubRingcsubrg 20642  DivRingcdr 20801  SubDRingcsdrg 20855  FixPtscfxp 33391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-ga 19348  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-rhm 20542  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-drng 20803  df-sdrg 20856  df-fxp 33392

This theorem is referenced by: (None)