Theorem fxpsdrg 33526

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a division ring 𝑊 is a sub-division-ring. Since sub-division-rings of fields are subfields (see fldsdrgfld 20938), (𝐶FixPts𝐴) might be called the fixed subfield under 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
fxpsdrg.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
fxpsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem fxpsdrg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsdrg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)
2		fxpsubm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
4		fxpsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
5		fxpsubm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
6		fxpsubrg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	2, 3, 4, 5, 6	fxpsubrg 33525	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
8	6	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
9	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑊 ∈ DivRing)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ DivRing)
11		gaset 19394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
12	5, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
13	12, 5	fxpss 33517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
14	13	ssdifssd 4104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝐶)
15	14	sselda 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ∈ 𝐶)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
17		eldifsni 4763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
18	17	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
20		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
21		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	3, 20, 21	drngunit 20869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑧 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))))
23	22	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
24	10, 16, 19, 23	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
25		rhmunitinv 20645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
26	8, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
27		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invr‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
28		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑊) = (invr‘𝑊)
29	3, 21, 28, 9, 15, 18	drnginvrcld 20896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
31		ovexd 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
32	4, 27, 30, 31	fvmptd3 7020	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
33		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
34		ovexd 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
35	4, 33, 16, 34	fvmptd3 7020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
36	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
38		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}))
39	38	eldifad 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
40		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	2, 37, 39, 40	fxpgaeq 33520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
42	35, 41	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
43	42	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
44	26, 32, 43	3eqtr3d 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
45	44	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
46	2, 36, 29	isfxp 33519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → (((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧)))
47	45, 46	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
48	47	ralrimiva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
49	28, 21	issdrg2 20935	. 2 ⊢ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴)))
50	1, 7, 48, 49	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  0_gc0g 17517   GrpAct cga 19390  Unitcui 20470  inv_rcinvr 20502   RingHom crh 20584  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  SubDRingcsdrg 20926  FixPtscfxp 33514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-ga 19391  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-sdrg 20927  df-fxp 33515

This theorem is used by: (None)