Theorem fxpsdrg 33142

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a division ring 𝑊 is a sub-division-ring. Since sub-division-rings of fields are subfields (see fldsdrgfld 20714), (𝐶FixPts𝐴) might be called the fixed subfield under 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
fxpsdrg.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
fxpsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsdrg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsdrg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)
2		fxpsubm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
4		fxpsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
5		fxpsubm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
6		fxpsubrg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	2, 3, 4, 5, 6	fxpsubrg 33141	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
8	6	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
9	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑊 ∈ DivRing)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ DivRing)
11		gaset 19206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
13	12, 5	fxpss 33133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
14	13	ssdifssd 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝐶)
15	14	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ∈ 𝐶)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
17		eldifsni 4742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
20		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
21		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	3, 20, 21	drngunit 20650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑧 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))))
23	22	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
24	10, 16, 19, 23	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
25		rhmunitinv 20427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
26	8, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
27		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invr‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
28		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑊) = (invr‘𝑊)
29	3, 21, 28, 9, 15, 18	drnginvrcld 20671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
31		ovexd 7381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
32	4, 27, 30, 31	fvmptd3 6952	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
33		oveq2 7354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
34		ovexd 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
35	4, 33, 16, 34	fvmptd3 6952	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
36	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
38		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}))
39	38	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
40		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	2, 37, 39, 40	fxpgaeq 33136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
42	35, 41	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
43	42	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
44	26, 32, 43	3eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
45	44	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
46	2, 36, 29	isfxp 33135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → (((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧)))
47	45, 46	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
48	47	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
49	28, 21	issdrg2 20711	. 2 ⊢ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴)))
50	1, 7, 48, 49	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899  {csn 4576   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   GrpAct cga 19202  Unitcui 20274  inv_rcinvr 20306   RingHom crh 20388  SubRingcsubrg 20485  DivRingcdr 20645  SubDRingcsdrg 20702  FixPtscfxp 33130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-ga 19203  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-rhm 20391  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-sdrg 20703  df-fxp 33131

This theorem is referenced by: (None)