Theorem fxpsdrg 33257

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a division ring 𝑊 is a sub-division-ring. Since sub-division-rings of fields are subfields (see fldsdrgfld 20731), (𝐶FixPts𝐴) might be called the fixed subfield under 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
fxpsdrg.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
fxpsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsdrg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsdrg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)
2		fxpsubm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
4		fxpsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
5		fxpsubm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
6		fxpsubrg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	2, 3, 4, 5, 6	fxpsubrg 33256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
8	6	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
9	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑊 ∈ DivRing)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ DivRing)
11		gaset 19222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
13	12, 5	fxpss 33248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
14	13	ssdifssd 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝐶)
15	14	sselda 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ∈ 𝐶)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
17		eldifsni 4746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
20		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
21		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	3, 20, 21	drngunit 20667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑧 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))))
23	22	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
24	10, 16, 19, 23	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
25		rhmunitinv 20444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
26	8, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
27		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invr‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
28		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑊) = (invr‘𝑊)
29	3, 21, 28, 9, 15, 18	drnginvrcld 20688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
31		ovexd 7393	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
32	4, 27, 30, 31	fvmptd3 6964	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
33		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
34		ovexd 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
35	4, 33, 16, 34	fvmptd3 6964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
36	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
38		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}))
39	38	eldifad 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
40		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	2, 37, 39, 40	fxpgaeq 33251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
42	35, 41	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
43	42	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
44	26, 32, 43	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
45	44	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
46	2, 36, 29	isfxp 33250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → (((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧)))
47	45, 46	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
48	47	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
49	28, 21	issdrg2 20728	. 2 ⊢ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴)))
50	1, 7, 48, 49	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  0_gc0g 17359   GrpAct cga 19218  Unitcui 20291  inv_rcinvr 20323   RingHom crh 20405  SubRingcsubrg 20502  DivRingcdr 20662  SubDRingcsdrg 20719  FixPtscfxp 33245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-ga 19219  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-sdrg 20720  df-fxp 33246

This theorem is referenced by: (None)