Theorem fxpsdrg 33729

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a division ring 𝑊 is a sub-division-ring. Since sub-division-rings of fields are subfields (see fldsdrgfld 21048), (𝐶FixPts𝐴) might be called the fixed subfield under 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
fxpsdrg.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
fxpsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem fxpsdrg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsdrg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ DivRing)
2		fxpsubm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
4		fxpsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
5		fxpsubm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
6		fxpsubrg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	2, 3, 4, 5, 6	fxpsubrg 33728	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
8	6	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
9	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑊 ∈ DivRing)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ DivRing)
11		gaset 19500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
12	5, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
13	12, 5	fxpss 33720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
14	13	ssdifssd 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝐶)
15	14	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ∈ 𝐶)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
17		eldifsni 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
18	17	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
20		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
21		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	3, 20, 21	drngunit 20978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑧 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))))
23	22	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
24	10, 16, 19, 23	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊))
25		rhmunitinv 20754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
26	8, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
27		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invr‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
28		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑊) = (invr‘𝑊)
29	3, 21, 28, 9, 15, 18	drnginvrcld 21006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
31		ovexd 7453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
32	4, 27, 30, 31	fvmptd3 7015	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invr‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)))
33		oveq2 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
34		ovexd 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
35	4, 33, 16, 34	fvmptd3 7015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
36	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
38		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)}))
39	38	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
40		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	2, 37, 39, 40	fxpgaeq 33723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
42	35, 41	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
43	42	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
44	26, 32, 43	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
45	44	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧))
46	2, 36, 29	isfxp 33722	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → (((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invr‘𝑊)‘𝑧)) = ((invr‘𝑊)‘𝑧)))
47	45, 46	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
48	47	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
49	28, 21	issdrg2 21045	. 2 ⊢ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝐶FixPts𝐴) ∖ {(0g‘𝑊)})((invr‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴)))
50	1, 7, 48, 49	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubDRing‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   GrpAct cga 19496  Unitcui 20578  inv_rcinvr 20610   RingHom crh 20692  SubRingcsubrg 20814  DivRingcdr 20973  SubDRingcsdrg 21036  FixPtscfxp 33717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-ga 19497  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-rhm 20695  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-drng 20975  df-sdrg 21037  df-fxp 33718

This theorem is used by: (None)