MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znchr 20758
Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znchr (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

Proof of Theorem znchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20740 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 19783 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 nn0z 12331 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
6 eqid 2738 . . . . . 6 (chr‘𝑌) = (chr‘𝑌)
7 eqid 2738 . . . . . 6 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
8 eqid 2738 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
96, 7, 8chrdvds 20720 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
104, 5, 9syl2an 596 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
111, 7, 8zndvds0 20746 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
125, 11sylan2 593 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
1310, 12bitrd 278 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
1413ralrimiva 3113 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
156chrcl 20718 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
164, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
17 dvdsext 16018 . . 3 (((chr‘𝑌) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1816, 17mpancom 685 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1914, 18mpbird 256 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5074  cfv 6427  0cn0 12221  cz 12307  cdvds 15951  0gc0g 17138  Ringcrg 19771  CRingccrg 19772  ℤRHomczrh 20689  chrcchr 20691  ℤ/nczn 20692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-tpos 8030  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-ec 8488  df-qs 8492  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-rp 12719  df-fz 13228  df-fl 13500  df-mod 13578  df-seq 13710  df-exp 13771  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-dvds 15952  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-0g 17140  df-imas 17207  df-qus 17208  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-mhm 18418  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-mulg 18689  df-subg 18740  df-nsg 18741  df-eqg 18742  df-ghm 18820  df-od 19124  df-cmn 19376  df-abl 19377  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-cring 19774  df-oppr 19850  df-dvdsr 19871  df-rnghom 19947  df-subrg 20010  df-lmod 20113  df-lss 20182  df-lsp 20222  df-sra 20422  df-rgmod 20423  df-lidl 20424  df-rsp 20425  df-2idl 20491  df-cnfld 20586  df-zring 20659  df-zrh 20693  df-chr 20695  df-zn 20696
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  31656
  Copyright terms: Public domain W3C validator