Theorem znchr 21741

Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znchr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

Proof of Theorem znchr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21723	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20350	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Ring)
5		nn0z 12626	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (chr‘𝑌) = (chr‘𝑌)
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
9	6, 7, 8	chrdvds 21705	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
10	4, 5, 9	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
11	1, 7, 8	zndvds0 21729	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
12	5, 11	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
13	10, 12	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
14	13	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
15	6	chrcl 21703	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
16	4, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
17		dvdsext 16396	. . 3 ⊢ (((chr‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥)))
18	16, 17	mpancom 701	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥)))
19	14, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602   ∥ cdvds 16327  0_gc0g 17509  Ringcrg 20338  CRingccrg 20339  ℤRHomczrh 21678  chrcchr 21680  ℤ/nℤczn 21681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-0g 17511  df-imas 17579  df-qus 17580  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-nsg 19213  df-eqg 19214  df-ghm 19307  df-od 19621  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-lidl 21361  df-rsp 21362  df-2idl 21418  df-cnfld 21552  df-zring 21626  df-zrh 21682  df-chr 21684  df-zn 21685

This theorem is used by:  ply1fermltl  33899