MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem znchr 21446
Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
znchr (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁)
Proof of Theorem znchr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21zncrng 21428 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
3 crngring 20146 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5 nn0z 12582 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„€)
6 eqid 2724 . . . . . 6 (chrβ€˜π‘Œ) = (chrβ€˜π‘Œ)
7 eqid 2724 . . . . . 6 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
96, 7, 8chrdvds 21406 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ)))
104, 5, 9syl2an 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ)))
111, 7, 8zndvds0 21434 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
125, 11sylan2 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
1310, 12bitrd 279 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
1413ralrimiva 3138 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
156chrcl 21404 . . . 4 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
164, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
17 dvdsext 16267 . . 3 (((chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯)))
1816, 17mpancom 685 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯)))
1914, 18mpbird 257 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557   βˆ₯ cdvds 16200  0gc0g 17390  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  β„€RHomczrh 21375  chrcchr 21377  β„€/nβ„€czn 21378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-ghm 19135  df-od 19444  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-lidl 21063  df-rsp 21064  df-2idl 21103  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-chr 21381  df-zn 21382
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  33157
  Copyright terms: Public domain W3C validator