Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znchr 20277
 Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znchr (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

Proof of Theorem znchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20259 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 18919 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 nn0z 11735 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (chr‘𝑌) = (chr‘𝑌)
7 eqid 2825 . . . . . 6 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
8 eqid 2825 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
96, 7, 8chrdvds 20243 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
104, 5, 9syl2an 589 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
111, 7, 8zndvds0 20265 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
125, 11sylan2 586 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
1310, 12bitrd 271 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
1413ralrimiva 3175 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
156chrcl 20241 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
164, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
17 dvdsext 15427 . . 3 (((chr‘𝑌) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1816, 17mpancom 679 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1914, 18mpbird 249 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  ℕ0cn0 11625  ℤcz 11711   ∥ cdvds 15364  0gc0g 16460  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909  ℤRHomczrh 20215  chrcchr 20217  ℤ/nℤczn 20218 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-ec 8016  df-qs 8020  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-imas 16528  df-qus 16529  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-nsg 17950  df-eqg 17951  df-ghm 18016  df-od 18306  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-lidl 19542  df-rsp 19543  df-2idl 19600  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-chr 20221  df-zn 20222 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator