Theorem znchr 21472

Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znchr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

Proof of Theorem znchr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20154	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Ring)
5		nn0z 12554	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (chr‘𝑌) = (chr‘𝑌)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
9	6, 7, 8	chrdvds 21436	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
10	4, 5, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
11	1, 7, 8	zndvds0 21460	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
12	5, 11	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
13	10, 12	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
14	13	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
15	6	chrcl 21434	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
16	4, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
17		dvdsext 16291	. . 3 ⊢ (((chr‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥)))
18	16, 17	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥)))
19	14, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529   ∥ cdvds 16222  0_gc0g 17402  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  ℤRHomczrh 21409  chrcchr 21411  ℤ/nℤczn 21412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19145  df-od 19458  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21160  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-chr 21415  df-zn 21416

This theorem is referenced by:  ply1fermltl  33553