MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem znchr 21109
Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
znchr (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁)
Proof of Theorem znchr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21zncrng 21091 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
3 crngring 20061 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5 nn0z 12579 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„€)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (chrβ€˜π‘Œ) = (chrβ€˜π‘Œ)
7 eqid 2732 . . . . . 6 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
96, 7, 8chrdvds 21071 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ)))
104, 5, 9syl2an 596 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ)))
111, 7, 8zndvds0 21097 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
125, 11sylan2 593 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
1310, 12bitrd 278 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
1413ralrimiva 3146 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
156chrcl 21069 . . . 4 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
164, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
17 dvdsext 16260 . . 3 (((chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯)))
1816, 17mpancom 686 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯)))
1914, 18mpbird 256 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554   βˆ₯ cdvds 16193  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  β„€RHomczrh 21040  chrcchr 21042  β„€/nβ„€czn 21043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-od 19390  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-chr 21046  df-zn 21047
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  32651
  Copyright terms: Public domain W3C validator