MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znchr 20119
Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znchr (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

Proof of Theorem znchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20101 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 18759 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 nn0z 11600 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
6 eqid 2771 . . . . . 6 (chr‘𝑌) = (chr‘𝑌)
7 eqid 2771 . . . . . 6 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
96, 7, 8chrdvds 20084 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
104, 5, 9syl2an 583 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
111, 7, 8zndvds0 20107 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
125, 11sylan2 580 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
1310, 12bitrd 268 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
1413ralrimiva 3115 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
156chrcl 20082 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
164, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
17 dvdsext 15245 . . 3 (((chr‘𝑌) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1816, 17mpancom 668 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1914, 18mpbird 247 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   class class class wbr 4786  cfv 6029  0cn0 11492  cz 11577  cdvds 15182  0gc0g 16301  Ringcrg 18748  CRingccrg 18749  ℤRHomczrh 20056  chrcchr 20058  ℤ/nczn 20059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-tpos 7502  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12527  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-dvds 15183  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-0g 16303  df-imas 16369  df-qus 16370  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-od 18148  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18691  df-ur 18703  df-ring 18750  df-cring 18751  df-oppr 18824  df-dvdsr 18842  df-rnghom 18918  df-subrg 18981  df-lmod 19068  df-lss 19136  df-lsp 19178  df-sra 19380  df-rgmod 19381  df-lidl 19382  df-rsp 19383  df-2idl 19440  df-cnfld 19955  df-zring 20027  df-zrh 20060  df-chr 20062  df-zn 20063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator