MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem znchr 21496
Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
znchr (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁)
Proof of Theorem znchr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21zncrng 21478 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
3 crngring 20185 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5 nn0z 12614 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„€)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (chrβ€˜π‘Œ) = (chrβ€˜π‘Œ)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
96, 7, 8chrdvds 21456 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ)))
104, 5, 9syl2an 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ)))
111, 7, 8zndvds0 21484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
125, 11sylan2 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
1310, 12bitrd 279 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
1413ralrimiva 3143 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯))
156chrcl 21454 . . . 4 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
164, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
17 dvdsext 16298 . . 3 (((chrβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯)))
1816, 17mpancom 687 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘Œ) βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ π‘₯)))
1914, 18mpbird 257 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (chrβ€˜π‘Œ) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589   βˆ₯ cdvds 16231  0gc0g 17421  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174  β„€RHomczrh 21425  chrcchr 21427  β„€/nβ„€czn 21428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-imas 17490  df-qus 17491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-nsg 19079  df-eqg 19080  df-ghm 19168  df-od 19483  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-lidl 21104  df-rsp 21105  df-2idl 21144  df-cnfld 21280  df-zring 21373  df-zrh 21429  df-chr 21431  df-zn 21432
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  33262
  Copyright terms: Public domain W3C validator