MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znchr 21552
Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znchr (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)

Proof of Theorem znchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 21534 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 20223 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 nn0z 12630 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
6 eqid 2725 . . . . . 6 (chr‘𝑌) = (chr‘𝑌)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
8 eqid 2725 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
96, 7, 8chrdvds 21512 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
104, 5, 9syl2an 594 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
111, 7, 8zndvds0 21540 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
125, 11sylan2 591 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
1310, 12bitrd 278 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
1413ralrimiva 3135 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥))
156chrcl 21510 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
164, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) ∈ ℕ0)
17 dvdsext 16318 . . 3 (((chr‘𝑌) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1816, 17mpancom 686 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑌) = 𝑁 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑌) ∥ 𝑥𝑁𝑥)))
1914, 18mpbird 256 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (chr‘𝑌) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050   class class class wbr 5152  cfv 6553  0cn0 12519  cz 12605  cdvds 16251  0gc0g 17449  Ringcrg 20211  CRingccrg 20212  ℤRHomczrh 21481  chrcchr 21483  ℤ/nczn 21484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233  ax-mulf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fz 13534  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-0g 17451  df-imas 17518  df-qus 17519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19057  df-subg 19112  df-nsg 19113  df-eqg 19114  df-ghm 19202  df-od 19521  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-rhm 20449  df-subrng 20523  df-subrg 20548  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-lsp 20896  df-sra 21098  df-rgmod 21099  df-lidl 21144  df-rsp 21145  df-2idl 21186  df-cnfld 21336  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-chr 21487  df-zn 21488
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  33431
  Copyright terms: Public domain W3C validator