Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdneg 15868
 Description: Negating one operand of the gcd operator does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdneg ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem gcdneg
StepHypRef Expression
1 oveq12 7158 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
21adantl 485 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3 zcn 11983 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
43negeq0d 10987 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
54anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)))
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)))
7 oveq12 7158 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0) → (𝑀 gcd -𝑁) = (0 gcd 0))
86, 7syl6bi 256 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd -𝑁) = (0 gcd 0)))
98imp 410 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd -𝑁) = (0 gcd 0))
102, 9eqtr4d 2862 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁))
11 gcddvds 15850 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
12 gcdcl 15853 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
1312nn0zd 12082 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
14 dvdsnegb 15627 . . . . . . . . 9 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁))
1513, 14sylancom 591 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁))
1615anbi2d 631 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁)))
1711, 16mpbid 235 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁))
186notbid 321 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)))
19 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 znegcl 12014 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2120adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -𝑁 ∈ ℤ)
22 dvdslegcd 15851 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁)))
2322ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
2413, 19, 21, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
2518, 24sylbid 243 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
2625com12 32 . . . . . 6 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
2717, 26mpdi 45 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁)))
2827impcom 411 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))
29 gcddvds 15850 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
3020, 29sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
31 gcdcl 15853 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 12082 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ)
3320, 32sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ)
34 dvdsnegb 15627 . . . . . . . . 9 (((𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
3533, 34sylancom 591 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
3635anbi2d 631 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁)))
3730, 36mpbird 260 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁))
38 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 dvdslegcd 15851 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
4039ex 416 . . . . . . . 8 (((𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
4133, 19, 38, 40syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
4241com12 32 . . . . . 6 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
4337, 42mpdi 45 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
4443impcom 411 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
4513zred 12084 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
4633zred 12084 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℝ)
4745, 46letri3d 10780 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁) ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
4847adantr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁) ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
4928, 44, 48mpbir2and 712 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁))
5010, 49pm2.61dan 812 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁))
5150eqcomd 2830 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  0cc0 10535   ≤ cle 10674  -cneg 10869  ℤcz 11978   ∥ cdvds 15607   gcd cgcd 15841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15842 This theorem is referenced by:  neggcd  15869  gcdabs  15875  odinv  18688  divnumden2  30545  gcdnegnni  39225
 Copyright terms: Public domain W3C validator