Theorem gcdneg 15623

Description: Negating one operand of the gcd operator does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdneg	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem gcdneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 6919	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
2	1	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3		zcn 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	negeq0d 10712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
5	4	anbi2d 622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)))
6	5	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)))
7		oveq12 6919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0) → (𝑀 gcd -𝑁) = (0 gcd 0))
8	6, 7	syl6bi 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd -𝑁) = (0 gcd 0)))
9	8	imp 397	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd -𝑁) = (0 gcd 0))
10	2, 9	eqtr4d 2864	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁))
11		gcddvds 15605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
12		gcdcl 15608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 11815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
14		dvdsnegb 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁))
15	13, 14	sylancom 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁))
16	15	anbi2d 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁)))
17	11, 16	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁))
18	6	notbid 310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)))
19		simpl 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		znegcl 11747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
21	20	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -𝑁 ∈ ℤ)
22		dvdslegcd 15606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁)))
23	22	ex 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
24	13, 19, 21, 23	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ -𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
25	18, 24	sylbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
26	25	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ -𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))))
27	17, 26	mpdi 45	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁)))
28	27	impcom 398	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁))
29		gcddvds 15605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
30	20, 29	sylan2 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
31		gcdcl 15608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ)
33	20, 32	sylan2 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ)
34		dvdsnegb 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
35	33, 34	sylancom 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁))
36	35	anbi2d 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ -𝑁)))
37	30, 36	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁))
38		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		dvdslegcd 15606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
40	39	ex 403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
41	33, 19, 38, 40	syl3anc 1494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
42	41	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
43	37, 42	mpdi 45	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
44	43	impcom 398	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
45	13	zred 11817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
46	33	zred 11817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) ∈ ℝ)
47	45, 46	letri3d 10505	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁) ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
48	47	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd -𝑁) ∧ (𝑀 gcd -𝑁) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
49	28, 44, 48	mpbir2and 704	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁))
50	10, 49	pm2.61dan 847	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd -𝑁))
51	50	eqcomd 2831	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  0cc0 10259   ≤ cle 10399  -cneg 10593  ℤcz 11711   ∥ cdvds 15364   gcd cgcd 15596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-gcd 15597

This theorem is referenced by:  neggcd  15624  gcdabs  15630  odinv  18336  divnumden2  30107