Theorem pcneg 17078

Description: The prime count of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcneg	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 13101	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zcn 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		nncn 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5	4	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nnne0 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
7	6	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
8	3, 5, 7	divnegd 12130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → -(𝑥 / 𝑦) = ( -𝑥 / 𝑦))
9	8	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt ( -𝑥 / 𝑦)))
10		neg0 11628	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
11		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
12	11	negeqd 11575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = -0)
13	10, 12, 11	3eqtr4a 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = 𝑥)
14	13	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → ( -𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
15	14	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑃 pCnt ( -𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
16		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
17		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
18	17	znegcld 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ∈ ℤ)
19		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
20	2	negne0bd 11686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ≠ 0)
23		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
24		pcdiv 17056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ( -𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ( -𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
25	16, 18, 22, 23, 24	syl121anc 1403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt ( -𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
26		pcdiv 17056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
27	16, 17, 19, 23, 26	syl121anc 1403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < )
29	28	pczpre 17051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ( -𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
30	16, 18, 22, 29	syl12anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
32	31	pczpre 17051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ))
33		prmz 16876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
34		zexpcl 14243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑦) ∈ ℤ)
35	33, 34	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑦) ∈ ℤ)
36		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
37		dvdsnegb 16469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃↑𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
38	35, 36, 37	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
39	38	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
40	39	rabbidva 3422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥} = {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥})
41	40	supeq1d 9462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
42	32, 41	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
43	16, 17, 19, 42	syl12anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
44	30, 43	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
45	44	oveq1d 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
46	27, 45	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
47	25, 46	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt ( -𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
48	15, 47	pm2.61dane 3046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt ( -𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
49	9, 48	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
50		negeq 11573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
51	50	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)))
52		oveq2 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
53	51, 52	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴) ↔ (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
54	49, 53	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
55	54	rexlimdvva 3223	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
56	1, 55	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
57	56	imp 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  supcsup 9456  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   < clt 11367   − cmin 11565   -cneg 11566   / cdiv 11997  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ℚcq 13099  ↑cexp 14228   ∥ cdvds 16448  ℙcprime 16872   pCnt cpc 17040

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-gcd 16691  df-prm 16873  df-pc 17041

This theorem is used by:  pcabs  17079  pcadd2  17094  lgsneg  27675