Theorem pcneg 16940

Description: The prime count of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcneg	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12980	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zcn 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		nncn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5	4	ad2antll 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nnne0 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
7	6	ad2antll 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
8	3, 5, 7	divnegd 12010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
9	8	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)))
10		neg0 11510	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
11		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
12	11	negeqd 11457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = -0)
13	10, 12, 11	3eqtr4a 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = 𝑥)
14	13	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (-𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
16		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
17		simplrl 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
18	17	znegcld 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ∈ ℤ)
19		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
20	2	negne0bd 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ≠ 0)
23		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
24		pcdiv 16918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
25	16, 18, 22, 23, 24	syl121anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
26		pcdiv 16918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
27	16, 17, 19, 23, 26	syl121anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
28		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < )
29	28	pczpre 16913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
30	16, 18, 22, 29	syl12anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
31		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
32	31	pczpre 16913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ))
33		prmz 16739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
34		zexpcl 14119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑦) ∈ ℤ)
35	33, 34	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑦) ∈ ℤ)
36		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
37		dvdsnegb 16337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃↑𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
38	35, 36, 37	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
39	38	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥))
40	39	rabbidva 3421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥} = {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥})
41	40	supeq1d 9404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
42	32, 41	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
43	16, 17, 19, 42	syl12anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
44	30, 43	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
45	44	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
46	27, 45	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
47	25, 46	eqtr4d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
48	15, 47	pm2.61dane 3044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
49	9, 48	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
50		negeq 11455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
51	50	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)))
52		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
53	51, 52	eqeq12d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴) ↔ (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
54	49, 53	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
55	54	rexlimdvva 3221	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
56	1, 55	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
57	56	imp 411	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  {crab 3415   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  supcsup 9398  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249   − cmin 11447  -cneg 11448   / cdiv 11877  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℚcq 12978  ↑cexp 14104   ∥ cdvds 16316  ℙcprime 16735   pCnt cpc 16902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-prm 16736  df-pc 16903

This theorem is used by:  pcabs  16941  pcadd2  16956  lgsneg  27496