MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcneg 16753
Description: The prime count of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcneg ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcneg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12882 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zcn 12511 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
32ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 nncn 12168 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
54ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nnne0 12194 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
76ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
83, 5, 7divnegd 11951 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
98oveq2d 7378 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)))
10 neg0 11454 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
11 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
1211negeqd 11402 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = -0)
1310, 12, 113eqtr4a 2803 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = 𝑥)
1413oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (-𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
1514oveq2d 7378 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
16 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
17 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
1817znegcld 12616 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ∈ ℤ)
19 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
202negne0bd 11512 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ≠ 0)
23 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
24 pcdiv 16731 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
2516, 18, 22, 23, 24syl121anc 1376 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
26 pcdiv 16731 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
2716, 17, 19, 23, 26syl121anc 1376 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
28 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < )
2928pczpre 16726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
3016, 18, 22, 29syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
3231pczpre 16726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ))
33 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
34 zexpcl 13989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
3533, 34sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
36 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
37 dvdsnegb 16163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥))
3835, 36, 37syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥))
3938an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥))
4039rabbidva 3417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥} = {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥})
4140supeq1d 9389 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
4232, 41eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
4316, 17, 19, 42syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
4430, 43eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
4544oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
4627, 45eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
4725, 46eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
4815, 47pm2.61dane 3033 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
499, 48eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
50 negeq 11400 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
5150oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)))
52 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
5351, 52eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴) ↔ (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
5449, 53syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
5554rexlimdvva 3206 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
561, 55biimtrid 241 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
5756imp 408 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wrex 3074  {crab 3410   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  supcsup 9383  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058   < clt 11196  cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  cn 12160  0cn0 12420  cz 12506  cq 12880  cexp 13974  cdvds 16143  cprime 16554   pCnt cpc 16715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716
This theorem is referenced by:  pcabs  16754  pcadd2  16769  lgsneg  26685
  Copyright terms: Public domain W3C validator