MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcneg 16907
Description: The prime count of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcneg ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcneg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12989 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zcn 12615 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
32ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 nncn 12271 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
54ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nnne0 12297 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
76ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
83, 5, 7divnegd 12053 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
98oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)))
10 neg0 11552 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
11 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
1211negeqd 11499 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = -0)
1310, 12, 113eqtr4a 2800 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → -𝑥 = 𝑥)
1413oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (-𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
1514oveq2d 7446 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
16 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
17 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
1817znegcld 12721 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ∈ ℤ)
19 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ≠ 0)
202negne0bd 11610 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ -𝑥 ≠ 0))
2219, 21mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → -𝑥 ≠ 0)
23 simplrr 778 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
24 pcdiv 16885 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
2516, 18, 22, 23, 24syl121anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
26 pcdiv 16885 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
2716, 17, 19, 23, 26syl121anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
28 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < )
2928pczpre 16880 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (-𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
3016, 18, 22, 29syl12anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
31 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
3231pczpre 16880 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ))
33 prmz 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
34 zexpcl 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
3533, 34sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
36 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
37 dvdsnegb 16307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥))
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥))
3938an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥))
4039rabbidva 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥} = {𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥})
4140supeq1d 9483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
4232, 41eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
4316, 17, 19, 42syl12anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑥) = sup({𝑦 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑦) ∥ -𝑥}, ℝ, < ))
4430, 43eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt -𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
4544oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
4627, 45eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt -𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
4725, 46eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
4815, 47pm2.61dane 3026 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (-𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
499, 48eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
50 negeq 11497 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
5150oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)))
52 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
5351, 52eqeq12d 2750 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴) ↔ (𝑃 pCnt -(𝑥 / 𝑦)) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
5449, 53syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
5554rexlimdvva 3210 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
561, 55biimtrid 242 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴)))
5756imp 406 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {crab 3432   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cq 12987  cexp 14098  cdvds 16286  cprime 16704   pCnt cpc 16869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870
This theorem is referenced by:  pcabs  16908  pcadd2  16923  lgsneg  27379
  Copyright terms: Public domain W3C validator