Theorem pidlnz 33112

Description: A principal ideal generated by a nonzero element is not the zero ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pidlnz.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pidlnz.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pidlnz.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pidlnz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Proof of Theorem pidlnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		pidlnz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		pidlnz.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5	3, 4	rspsnid 33108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
6	1, 2, 5	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
7		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
8	6, 7	eleqtrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ∈ { 0 })
9		elsni 4649	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 = 0 )
11		simpl3 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
12	11	neneqd 2942	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → ¬ 𝑋 = 0 )
13	10, 12	pm2.65da 815	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
14	13	neqned 2944	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  {csn 4632  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  Ringcrg 20180  RSpancrsp 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-subg 19085  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-rsp 21112

This theorem is referenced by:  pidlnzb  33162  drngidl  33174  minplym1p  33416