Theorem dvhelvbasei 39302

Description: Vector membership in the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhvbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvbase.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvbase.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhelvbasei	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ 𝑉)

Proof of Theorem dvhelvbasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5637	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
2	1	adantl 483	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
3		dvhvbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dvhvbase.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dvhvbase.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhvbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		dvhvbase.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8	3, 4, 5, 6, 7	dvhvbase 39301	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
9	8	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
10	2, 9	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ⟨cop 4571   × cxp 5598  ‘cfv 6458  Basecbs 16961  LHypclh 38198  LTrncltrn 38315  TEndoctendo 38966  DVecHcdvh 39292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-struct 16897  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-plusg 17024  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-dvech 39293

This theorem is referenced by:  dvh0g  39325  dvheveccl  39326  dib1dim2  39382  diclspsn  39408  cdlemn4a  39413  dih1dimatlem  39543  dihatlat  39548  dihatexv  39552