Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhelvbasei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhelvbasei 36891
Description: Vector membership in the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvbase.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvbase.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvbase.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvbase.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvbase.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhelvbasei (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑆𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ 𝑉)

Proof of Theorem dvhelvbasei
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5286 . . 3 ((𝐹𝑇𝑆𝐸) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
21adantl 467 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑆𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
3 dvhvbase.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dvhvbase.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dvhvbase.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 dvhvbase.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 dvhvbase.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
83, 4, 5, 6, 7dvhvbase 36890 . . 3 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
98adantr 466 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑆𝐸)) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
102, 9eleqtrrd 2853 1 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑆𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   × cxp 5247  cfv 6029  Basecbs 16057  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  TEndoctendo 36554  DVecHcdvh 36881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16155  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-dvech 36882
This theorem is referenced by:  dvh0g  36914  dvheveccl  36915  dib1dim2  36971  diclspsn  36997  cdlemn4a  37002  dih1dimatlem  37132  dihatlat  37137  dihatexv  37141
  Copyright terms: Public domain W3C validator