Theorem dvn0 25069

Description: Zero times iterated derivative. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvn0	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)

Proof of Theorem dvn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))
2	1	dvnfval 25067	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
3	2	fveq1d 6770	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹}))‘0))
4		0z 12313	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
6		0nn0 12231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		fvconst2g 7071	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘0) = 𝐹)
8	5, 6, 7	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((ℕ0 × {𝐹})‘0) = 𝐹)
9	4, 8	seq1i 13716	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹}))‘0) = 𝐹)
10	3, 9	eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ⊆ wss 3891  {csn 4566   ↦ cmpt 5161   × cxp 5586   ∘ ccom 5592  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  1^st c1st 7815   ↑_pm cpm 8590  ℂcc 10853  0cc0 10855  ℕ₀cn0 12216  seqcseq 13702   D cdv 25008   D^𝑛 cdvn 25009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-seq 13703  df-dvn 25013

This theorem is referenced by:  dvn1  25071  dvnadd  25074  dvnres  25076  cpncn  25081  dvnfre  25097  c1lip2  25143  dvnply2  25428  tayl0  25502  dvntaylp  25511  taylthlem1  25513  dvnmptdivc  43433  dvnxpaek  43437  dvnmul  43438  dvnprodlem3  43443  etransclem46  43775