Theorem dyadf 24755

Description: The function 𝐹 returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadf	⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem dyadf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	lep1d 11906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ (𝑥 + 1))
4		peano2re 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6		2nn 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		nnexpcl 13795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
8	6, 7	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
10	9	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 12022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝑦))
12		lediv1 11840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑦))) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
13	2, 5, 10, 11, 12	syl112anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
14	3, 13	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)))
15		df-br 5075	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ↔ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
16	14, 15	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
17		nndivre 12014	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
18	1, 8, 17	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
19	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
20		nndivre 12014	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
21	19, 8, 20	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
22	18, 21	opelxpd 5627	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	16, 22	elind 4128	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24	23	rgen2 3120	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
25		dyadmbl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
26	25	fmpo 7908	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
27	24, 26	mpbi 229	1 ⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3886  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  dyaddisj  24760  dyadmax  24762  dyadmbllem  24763  dyadmbl  24764  opnmbllem  24765  opnmbllem0  35813  mblfinlem2  35815