Theorem dyadf 25544

Description: The function 𝐹 returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadf	⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem dyadf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	lep1d 12173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ (𝑥 + 1))
4		peano2re 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6		2nn 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		nnexpcl 14092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
8	6, 7	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
10	9	nnred 12255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 12289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝑦))
12		lediv1 12107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑦))) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
13	2, 5, 10, 11, 12	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
14	3, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)))
15		df-br 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ↔ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
16	14, 15	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
17		nndivre 12281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
18	1, 8, 17	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
19	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
20		nndivre 12281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
21	19, 8, 20	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
22	18, 21	opelxpd 5693	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	16, 22	elind 4175	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24	23	rgen2 3184	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
25		dyadmbl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
26	25	fmpo 8067	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
27	24, 26	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∩ cin 3925  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ⟶wf 6527  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  dyaddisj  25549  dyadmax  25551  dyadmbllem  25552  dyadmbl  25553  opnmbllem  25554  opnmbllem0  37680  mblfinlem2  37682