Theorem dyadf 25611

Description: The function 𝐹 returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadf	⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem dyadf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	lep1d 12197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ (𝑥 + 1))
4		peano2re 11437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6		2nn 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		nnexpcl 14094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
8	6, 7	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
9	8	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
10	9	nnred 12279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 12313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝑦))
12		lediv1 12131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑦))) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
13	2, 5, 10, 11, 12	syl112anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
14	3, 13	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)))
15		df-br 5154	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ↔ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
16	14, 15	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
17		nndivre 12305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
18	1, 8, 17	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
19	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
20		nndivre 12305	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
21	19, 8, 20	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
22	18, 21	opelxpd 5721	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	16, 22	elind 4195	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24	23	rgen2 3188	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
25		dyadmbl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
26	25	fmpo 8082	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
27	24, 26	mpbi 229	1 ⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ∩ cin 3946  ⟨cop 4639   class class class wbr 5153   × cxp 5680  ⟶wf 6550  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   < clt 11298   ≤ cle 11299   / cdiv 11921  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12610  ↑cexp 14081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-seq 14022  df-exp 14082

This theorem is referenced by:  dyaddisj  25616  dyadmax  25618  dyadmbllem  25619  dyadmbl  25620  opnmbllem  25621  opnmbllem0  37357  mblfinlem2  37359