MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemf 18846
Description: Lemma for efgredleme 18848. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
Assertion
Ref Expression
efgredlemf (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlemf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3 efgval.r . . . . . . . 8 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18835 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
98simp1bi 1141 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1110eldifad 3925 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
12 wrdf 13851 . . . 4 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
14 fzossfz 13040 . . . . 5 (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
15 lencl 13865 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1716nn0zd 12064 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
18 fzoval 13023 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
2014, 19sseqtrrid 3999 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
21 efgredlemb.k . . . . 5 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
22 efgredlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
23 efgredlem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
24 efgredlem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
25 efgredlem.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
262, 3, 4, 5, 6, 7, 22, 1, 23, 24, 25efgredlema 18845 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2726simpld 497 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
28 fzo0end 13113 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3021, 29eqeltrid 2915 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3120, 30sseldd 3947 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3213, 31ffvelrnd 6828 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
332, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18835 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
3433simp1bi 1141 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
3523, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
3635eldifad 3925 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
37 wrdf 13851 . . . 4 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝜑𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
39 fzossfz 13040 . . . . 5 (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
40 lencl 13865 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
4241nn0zd 12064 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
43 fzoval 13023 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
4442, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
4539, 44sseqtrrid 3999 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
46 efgredlemb.l . . . . 5 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
47 fzo0end 13113 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
4826, 47simpl2im 506 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
4946, 48eqeltrid 2915 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
5045, 49sseldd 3947 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
5138, 50ffvelrnd 6828 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
5232, 51jca 514 1 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  {crab 3129  cdif 3910  c0 4269  {csn 4543  cop 4549  cotp 4551   ciun 4895   class class class wbr 5042  cmpt 5122   I cid 5435   × cxp 5529  dom cdm 5531  ran crn 5532  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  cmpo 7135  1oc1o 8073  2oc2o 8074  0cc0 10515  1c1 10516   < clt 10653  cmin 10848  cn 11616  0cn0 11876  cz 11960  ...cfz 12876  ..^cfzo 13017  chash 13675  Word cword 13846   splice csplice 14091  ⟨“cs2 14183   ~FG cefg 18811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847
This theorem is referenced by:  efgredlemg  18847  efgredleme  18848
  Copyright terms: Public domain W3C validator