Theorem efgredlemf 19869

Description: Lemma for efgredleme 19871. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k	⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l	⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)

Assertion

Ref	Expression
efgredlemf	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝑀(𝑦, 𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem efgredlemf

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
2		efgval.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3		efgval.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
5		efgval2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
6		efgred.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
7		efgred.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
9	8	simp1bi 1163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	1, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11	10	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
12		wrdf 14585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
14		fzossfz 13736	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
15		lencl 14600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	11, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
18		fzoval 13717	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
19	17, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
20	14, 19	sseqtrrid 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
21		efgredlemb.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
22		efgredlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
23		efgredlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
24		efgredlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
25		efgredlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 22, 1, 23, 24, 25	efgredlema 19868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
27	26	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
28		fzo0end 13816	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
30	21, 29	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
31	20, 30	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
32	13, 31	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊)
33	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
34	33	simp1bi 1163	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
35	23, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
36	35	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
37		wrdf 14585	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
38	36, 37	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
39		fzossfz 13736	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
40		lencl 14600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
41	36, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
42	41	nn0zd 12643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
43		fzoval 13717	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
44	42, 43	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
45	39, 44	sseqtrrid 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
46		efgredlemb.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
47		fzo0end 13816	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
48	26, 47	simpl2im 513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
49	46, 48	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
50	45, 49	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
51	38, 50	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊)
52	32, 51	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593  ⟨cotp 4595  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   × cxp 5657  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   − cmin 11468  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ...cfz 13563  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396  Word cword 14580   splice csplice 14820  ⟨“cs2 14914   ~_FG cefg 19834

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581

This theorem is used by:  efgredlemg  19870  efgredleme  19871