Theorem efgredlemf 19733

Description: Lemma for efgredleme 19735. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k	⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l	⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)

Assertion

Ref	Expression
efgredlemf	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlemf

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
2		efgval.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3		efgval.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
5		efgval2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
6		efgred.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
7		efgred.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
9	8	simp1bi 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11	10	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
12		wrdf 14520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
14		fzossfz 13697	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
15		lencl 14534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
18		fzoval 13679	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
20	14, 19	sseqtrrid 4033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
21		efgredlemb.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
22		efgredlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
23		efgredlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
24		efgredlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
25		efgredlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 22, 1, 23, 24, 25	efgredlema 19732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
27	26	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
28		fzo0end 13770	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
30	21, 29	eqeltrid 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
31	20, 30	sseldd 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
32	13, 31	ffvelcdmd 7089	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊)
33	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
34	33	simp1bi 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
35	23, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
36	35	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
37		wrdf 14520	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
38	36, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
39		fzossfz 13697	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
40		lencl 14534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
41	36, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
42	41	nn0zd 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
43		fzoval 13679	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
45	39, 44	sseqtrrid 4033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
46		efgredlemb.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
47		fzo0end 13770	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
48	26, 47	simpl2im 502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
49	46, 48	eqeltrid 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
50	45, 49	sseldd 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
51	38, 50	ffvelcdmd 7089	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊)
52	32, 51	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  {crab 3420   ∖ cdif 3944  ∅c0 4323  {csn 4624  ⟨cop 4630  ⟨cotp 4632  ∪ ciun 4994   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   I cid 5570   × cxp 5671  dom cdm 5673  ran crn 5674  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1_oc1o 8479  2_oc2o 8480  0cc0 11147  1c1 11148   < clt 11287   − cmin 11483  ℕcn 12256  ℕ₀cn0 12516  ℤcz 12602  ...cfz 13530  ..^cfzo 13673  ♯chash 14340  Word cword 14515   splice csplice 14750  ⟨“cs2 14843   ~_FG cefg 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-hash 14341  df-word 14516

This theorem is referenced by:  efgredlemg  19734  efgredleme  19735