Theorem efgredlemf 19774

Description: Lemma for efgredleme 19776. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k	⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l	⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)

Assertion

Ref	Expression
efgredlemf	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlemf

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
2		efgval.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3		efgval.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
5		efgval2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
6		efgred.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
7		efgred.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
9	8	simp1bi 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11	10	eldifad 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
12		wrdf 14554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
14		fzossfz 13715	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
15		lencl 14568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
18		fzoval 13697	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
20	14, 19	sseqtrrid 4049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
21		efgredlemb.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
22		efgredlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
23		efgredlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
24		efgredlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
25		efgredlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 22, 1, 23, 24, 25	efgredlema 19773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
27	26	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
28		fzo0end 13794	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
30	21, 29	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
31	20, 30	sseldd 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
32	13, 31	ffvelcdmd 7105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊)
33	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
34	33	simp1bi 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
35	23, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
36	35	eldifad 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
37		wrdf 14554	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
38	36, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
39		fzossfz 13715	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
40		lencl 14568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
41	36, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
42	41	nn0zd 12637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
43		fzoval 13697	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
45	39, 44	sseqtrrid 4049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
46		efgredlemb.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
47		fzo0end 13794	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
48	26, 47	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
49	46, 48	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
50	45, 49	sseldd 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
51	38, 50	ffvelcdmd 7105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊)
52	32, 51	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∖ cdif 3960  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637  ⟨cotp 4639  ∪ ciun 4996   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877   ~_FG cefg 19739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550

This theorem is referenced by:  efgredlemg  19775  efgredleme  19776