Theorem efgredlema 19660

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19651 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))

Assertion

Ref	Expression
efgredlema	⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlema

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
2		efgredlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
3		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
7		efgred.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsval 19651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
11		efgredlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
12		efgredlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsval 19651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
15	11, 14	eqtr3d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
16	10, 15	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
17		oveq1 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
20	19	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
21	16, 20	sylan9eq 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘0))
22	11	eleq1d 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷))
23	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgs1b 19656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
24	12, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
25	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgs1b 19656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
26	2, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
27	22, 24, 26	3bitr3d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
28	27	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
29		oveq1 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = (1 − 1))
30	29, 18	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = 0)
31	30	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
32	28, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
33	21, 32	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
34	1, 33	mtand 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 1)
35	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsdm 19650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑢 − 1)))))
36	35	simp1bi 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
37		eldifsn 4785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
38		lennncl 14490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
39	37, 38	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
40	12, 36, 39	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
41		elnn1uz2 12913	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
42	40, 41	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
43	42	ord 861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
44	34, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
45		uz2m1nn 12911	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
47	34, 27	mtbid 324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
48	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsdm 19650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑢 − 1)))))
49	48	simp1bi 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50		eldifsn 4785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
51		lennncl 14490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
52	50, 51	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
53	2, 49, 52	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
54		elnn1uz2 12913	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
55	53, 54	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
56	55	ord 861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
57	47, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
58		uz2m1nn 12911	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
59	57, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
60	46, 59	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  {crab 3426   ∖ cdif 3940  ∅c0 4317  {csn 4623  ⟨cop 4629  ⟨cotp 4631  ∪ ciun 4990   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1_oc1o 8460  2_oc2o 8461  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   − cmin 11448  ℕcn 12216  2c2 12271  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  ♯chash 14295  Word cword 14470   splice csplice 14705  ⟨“cs2 14798   ~_FG cefg 19626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471

This theorem is referenced by:  efgredlemf  19661  efgredlemg  19662  efgredlemd  19664  efgredlemc  19665  efgredlem  19667