MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlema 19522
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19513 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlema (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlema
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlem.5 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
2 efgredlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
3 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
93, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 19513 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
102, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
11 efgredlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
133, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 19513 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1511, 14eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1610, 15eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
17 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
18 1m1e0 12225 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1917, 18eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
2019fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
2116, 20sylan9eq 2796 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘0))
2211eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷))
233, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 19518 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
2412, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
253, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 19518 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
262, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
2722, 24, 263bitr3d 308 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
2827biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
29 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = (1 − 1))
3029, 18eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = 0)
3130fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3228, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3321, 32eqtr3d 2778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
341, 33mtand 814 . . . 4 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 1)
353, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 19512 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑢 − 1)))))
3635simp1bi 1145 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
37 eldifsn 4747 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
38 lennncl 14422 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
3937, 38sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
4012, 36, 393syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
41 elnn1uz2 12850 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4342ord 862 . . . 4 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4434, 43mpd 15 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
45 uz2m1nn 12848 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4644, 45syl 17 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4734, 27mtbid 323 . . . 4 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
483, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 19512 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑢 − 1)))))
4948simp1bi 1145 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50 eldifsn 4747 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅))
51 lennncl 14422 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
5250, 51sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
532, 49, 523syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
54 elnn1uz2 12850 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5553, 54sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5655ord 862 . . . 4 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5747, 56mpd 15 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2))
58 uz2m1nn 12848 . . 3 ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
6046, 59jca 512 1 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  cdif 3907  c0 4282  {csn 4586  cop 4592  cotp 4594   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1oc1o 8405  2oc2o 8406  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   splice csplice 14637  ⟨“cs2 14730   ~FG cefg 19488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403
This theorem is referenced by:  efgredlemf  19523  efgredlemg  19524  efgredlemd  19526  efgredlemc  19527  efgredlem  19529
  Copyright terms: Public domain W3C validator