Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlema 18866
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18857 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlema (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlema
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlem.5 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
2 efgredlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
3 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
93, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 18857 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
102, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
11 efgredlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
133, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 18857 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1511, 14eqtr3d 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1610, 15eqtr3d 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
17 oveq1 7156 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
18 1m1e0 11706 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1917, 18syl6eq 2875 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
2019fveq2d 6665 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
2116, 20sylan9eq 2879 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘0))
2211eleq1d 2900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷))
233, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 18862 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
2412, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
253, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 18862 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
262, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
2722, 24, 263bitr3d 312 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
2827biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
29 oveq1 7156 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = (1 − 1))
3029, 18syl6eq 2875 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = 0)
3130fveq2d 6665 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3228, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3321, 32eqtr3d 2861 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
341, 33mtand 815 . . . 4 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 1)
353, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 18856 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑢 − 1)))))
3635simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
37 eldifsn 4704 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
38 lennncl 13886 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
3937, 38sylbi 220 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
4012, 36, 393syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
41 elnn1uz2 12322 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4240, 41sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4342ord 861 . . . 4 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4434, 43mpd 15 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
45 uz2m1nn 12320 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4644, 45syl 17 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4734, 27mtbid 327 . . . 4 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
483, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 18856 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑢 − 1)))))
4948simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50 eldifsn 4704 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅))
51 lennncl 13886 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
5250, 51sylbi 220 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
532, 49, 523syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
54 elnn1uz2 12322 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5553, 54sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5655ord 861 . . . 4 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5747, 56mpd 15 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2))
58 uz2m1nn 12320 . . 3 ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
6046, 59jca 515 1 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  {crab 3137   ∖ cdif 3916  ∅c0 4276  {csn 4550  ⟨cop 4556  ⟨cotp 4558  ∪ ciun 4905   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   I cid 5446   × cxp 5540  dom cdm 5542  ran crn 5543  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  1oc1o 8091  2oc2o 8092  0cc0 10535  1c1 10536   < clt 10673   − cmin 10868  ℕcn 11634  2c2 11689  ℤ≥cuz 12240  ...cfz 12894  ..^cfzo 13037  ♯chash 13695  Word cword 13866   splice csplice 14111  ⟨“cs2 14203   ~FG cefg 18832 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867 This theorem is referenced by:  efgredlemf  18867  efgredlemg  18868  efgredlemd  18870  efgredlemc  18871  efgredlem  18873
 Copyright terms: Public domain W3C validator