MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlema 19527
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19518 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
efgredlem.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
efgredlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅))
efgredlem.5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
Assertion
Ref Expression
efgredlema (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1) ∈ β„•))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝐴   𝑦,π‘Ž,𝑧,𝑏   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   π‘š,π‘Ž,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑀,𝑏   π‘˜,π‘Ž,𝑇,𝑏,π‘š,𝑑,π‘₯   π‘Š,π‘Ž,𝑏   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘Ž,𝑏,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,π‘Ž,𝑏   𝑆,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘Ž,𝑏,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem efgredlema
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlem.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
2 efgredlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom 𝑆)
3 efgval.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
4 efgval.r . . . . . . . . . 10 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
5 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
7 efgred.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
93, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 19518 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π΅) = (π΅β€˜((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1)))
102, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΅) = (π΅β€˜((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1)))
11 efgredlem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅))
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑆)
133, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 19518 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π΄) = (π΄β€˜((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄) = (π΄β€˜((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1)))
1511, 14eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΅) = (π΄β€˜((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1)))
1610, 15eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1)) = (π΄β€˜((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1)))
17 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) = 1 β†’ ((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
18 1m1e0 12230 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 1) = 0
1917, 18eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π΄) = 1 β†’ ((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1) = 0)
2019fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π΄) = 1 β†’ (π΄β€˜((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1)) = (π΄β€˜0))
2116, 20sylan9eq 2793 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) = 1) β†’ (π΅β€˜((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1)) = (π΄β€˜0))
2211eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π΄) ∈ 𝐷 ↔ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷))
233, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 19523 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 β†’ ((π‘†β€˜π΄) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π΄) = 1))
2412, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π΄) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π΄) = 1))
253, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 19523 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ dom 𝑆 β†’ ((π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π΅) = 1))
262, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π΅) = 1))
2722, 24, 263bitr3d 309 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) = 1 ↔ (β™―β€˜π΅) = 1))
2827biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) = 1) β†’ (β™―β€˜π΅) = 1)
29 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΅) = 1 β†’ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
3029, 18eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π΅) = 1 β†’ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1) = 0)
3130fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π΅) = 1 β†’ (π΅β€˜((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1)) = (π΅β€˜0))
3228, 31syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) = 1) β†’ (π΅β€˜((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1)) = (π΅β€˜0))
3321, 32eqtr3d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) = 1) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
341, 33mtand 815 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (β™―β€˜π΄) = 1)
353, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 19517 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (π΄β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (1..^(β™―β€˜π΄))(π΄β€˜π‘’) ∈ ran (π‘‡β€˜(π΄β€˜(𝑒 βˆ’ 1)))))
3635simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 β†’ 𝐴 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}))
37 eldifsn 4748 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
38 lennncl 14428 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
3937, 38sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
4012, 36, 393syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
41 elnn1uz2 12855 . . . . . 6 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜π΄) = 1 ∨ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) = 1 ∨ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
4342ord 863 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (β™―β€˜π΄) = 1 β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
4434, 43mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
45 uz2m1nn 12853 . . 3 ((β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„•)
4644, 45syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„•)
4734, 27mtbid 324 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (β™―β€˜π΅) = 1)
483, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 19517 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐡 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (π΅β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (1..^(β™―β€˜π΅))(π΅β€˜π‘’) ∈ ran (π‘‡β€˜(π΅β€˜(𝑒 βˆ’ 1)))))
4948simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ dom 𝑆 β†’ 𝐡 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}))
50 eldifsn 4748 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐡 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 β‰  βˆ…))
51 lennncl 14428 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
5250, 51sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
532, 49, 523syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
54 elnn1uz2 12855 . . . . . 6 ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜π΅) = 1 ∨ (β™―β€˜π΅) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
5553, 54sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) = 1 ∨ (β™―β€˜π΅) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
5655ord 863 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (β™―β€˜π΅) = 1 β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
5747, 56mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
58 uz2m1nn 12853 . . 3 ((β™―β€˜π΅) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1) ∈ β„•)
5957, 58syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1) ∈ β„•)
6046, 59jca 513 1 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ 1) ∈ β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βˆ– cdif 3908  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βŸ¨cop 4593  βŸ¨cotp 4595  βˆͺ ciun 4955   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1oc1o 8406  2oc2o 8407  0cc0 11056  1c1 11057   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  2c2 12213  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   splice csplice 14643  βŸ¨β€œcs2 14736   ~FG cefg 19493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409
This theorem is referenced by:  efgredlemf  19528  efgredlemg  19529  efgredlemd  19531  efgredlemc  19532  efgredlem  19534
  Copyright terms: Public domain W3C validator