Theorem efgredlema 19433

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19424 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))

Assertion

Ref	Expression
efgredlema	⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlema

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
2		efgredlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
3		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
7		efgred.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsval 19424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
11		efgredlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
12		efgredlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsval 19424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
15	11, 14	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
16	10, 15	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
17		oveq1 7336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 12138	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
20	19	fveq2d 6823	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
21	16, 20	sylan9eq 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘0))
22	11	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷))
23	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgs1b 19429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
24	12, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
25	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgs1b 19429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
26	2, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
27	22, 24, 26	3bitr3d 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
28	27	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
29		oveq1 7336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = (1 − 1))
30	29, 18	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = 0)
31	30	fveq2d 6823	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
32	28, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
33	21, 32	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
34	1, 33	mtand 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 1)
35	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsdm 19423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑢 − 1)))))
36	35	simp1bi 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
37		eldifsn 4733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
38		lennncl 14329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
39	37, 38	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
40	12, 36, 39	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
41		elnn1uz2 12758	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
42	40, 41	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
43	42	ord 861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
44	34, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
45		uz2m1nn 12756	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
47	34, 27	mtbid 323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
48	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsdm 19423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑢 − 1)))))
49	48	simp1bi 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50		eldifsn 4733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
51		lennncl 14329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
52	50, 51	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
53	2, 49, 52	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
54		elnn1uz2 12758	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
55	53, 54	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
56	55	ord 861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
57	47, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
58		uz2m1nn 12756	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
59	57, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
60	46, 59	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3403   ∖ cdif 3894  ∅c0 4268  {csn 4572  ⟨cop 4578  ⟨cotp 4580  ∪ ciun 4938   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5172   I cid 5511   × cxp 5612  dom cdm 5614  ran crn 5615  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   ∈ cmpo 7331  1_oc1o 8352  2_oc2o 8353  0cc0 10964  1c1 10965   < clt 11102   − cmin 11298  ℕcn 12066  2c2 12121  ℤ_≥cuz 12675  ...cfz 13332  ..^cfzo 13475  ♯chash 14137  Word cword 14309   splice csplice 14552  ⟨“cs2 14645   ~_FG cefg 19399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-hash 14138  df-word 14310

This theorem is referenced by:  efgredlemf  19434  efgredlemg  19435  efgredlemd  19437  efgredlemc  19438  efgredlem  19440