Theorem zmodfz 13785

Description: An integer mod 𝐵 lies in the first 𝐵 nonnegative integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
zmodfz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)))

Proof of Theorem zmodfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 13783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ)
3	1	nn0ge0d 12436	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
4		zre 12463	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nnrp 12893	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
6		modlt 13772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
7	4, 5, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
8		0z 12470	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		nnz 12480	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		elfzm11 13486	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)))
12	8, 10, 11	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)))
13	2, 3, 7, 12	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  0cc0 10997  1c1 10998   < clt 11137   ≤ cle 11138   − cmin 11335  ℕcn 12116  ℤcz 12459  ℝ⁺crp 12881  ...cfz 13398   mod cmo 13761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-fz 13399  df-fl 13684  df-mod 13762

This theorem is referenced by:  zmodfzo  13786  prmdiv  16683  4sqlem11  16854  dfod2  19430  iblitg  25650  cxpeq  26648  ppiublem2  27095  lgsdir2lem3  27219  lgseisenlem1  27267  ostth2lem2  27526  pellex  42825  congrep  42963