Theorem zmodfz 13896

Description: An integer mod 𝐵 lies in the first 𝐵 nonnegative integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
zmodfz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)))

Proof of Theorem zmodfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 13894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ)
3	1	nn0ge0d 12538	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
4		zre 12565	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nnrp 12998	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
6		modlt 13883	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
7	4, 5, 6	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
8		0z 12572	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		nnz 12582	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		elfzm11 13593	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)))
12	8, 10, 11	sylancr 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)))
13	2, 3, 7, 12	mpbir3and 1355	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   < clt 11209   ≤ cle 11210   − cmin 11407  ℕcn 12203  ℤcz 12561  ℝ⁺crp 12986  ...cfz 13505   mod cmo 13872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fl 13795  df-mod 13873

This theorem is referenced by:  zmodfzo  13897  prmdiv  16810  4sqlem11  16981  dfod2  19594  iblitg  25817  cxpeq  26809  ppiublem2  27254  lgsdir2lem3  27378  lgseisenlem1  27426  ostth2lem2  27685  pellex  43372  congrep  43510