Theorem zmodfz 13801

Description: An integer mod 𝐵 lies in the first 𝐵 nonnegative integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
zmodfz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)))

Proof of Theorem zmodfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 13799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12502	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ)
3	1	nn0ge0d 12454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
4		zre 12481	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nnrp 12906	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
6		modlt 13788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
7	4, 5, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
8		0z 12488	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		nnz 12498	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		elfzm11 13499	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)))
12	8, 10, 11	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)))
13	2, 3, 7, 12	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ (0...(𝐵 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   < clt 11155   ≤ cle 11156   − cmin 11353  ℕcn 12134  ℤcz 12477  ℝ⁺crp 12894  ...cfz 13411   mod cmo 13777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fl 13700  df-mod 13778

This theorem is referenced by:  zmodfzo  13802  prmdiv  16700  4sqlem11  16871  dfod2  19480  iblitg  25699  cxpeq  26697  ppiublem2  27144  lgsdir2lem3  27268  lgseisenlem1  27316  ostth2lem2  27575  pellex  42955  congrep  43093