Theorem matmpo 33629

Description: Write a square matrix as a mapping operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
matmpo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmpo.n	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matmpo	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem matmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matmpo.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		matmpo.n	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	matbas2i 22410	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
5		elmapfn 8884	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁))
7		fnov 7547	. 2 ⊢ (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ↔ 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
8	6, 7	sylib 217	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   × cxp 5671   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17206   Mat cmat 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-sup 9476  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-fz 13531  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-hom 17283  df-cco 17284  df-0g 17449  df-prds 17455  df-pws 17457  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-dsmm 21724  df-frlm 21739  df-mat 22394

This theorem is referenced by:  submat1n  33631  submatres  33632  mdetlap1  33652