Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds5 32986
Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds5.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
islinds5.r 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islinds5.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islinds5.z 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
islinds5.y 0 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
islinds5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Distinct variable groups:   0 ,π‘Ž,𝑣   Β· ,π‘Ž,𝑣   𝐡,π‘Ž,𝑣   𝐹,π‘Ž   𝑣,𝐾   𝑂,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑣   π‘Š,π‘Ž,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(π‘Ž)   𝑂(𝑣)
Proof of Theorem islinds5
StepHypRef Expression
1 islinds5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21islinds 21704 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š)))
32baibd 539 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š))
4 simpl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
51fvexi 6899 . . . . 5 𝐡 ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
7 simpr 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
86, 7ssexd 5317 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 f1oi 6865 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10 f1of 6827 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
119, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
1211, 7fssd 6729 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
13 islinds5.r . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 islinds5.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 islinds5.z . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
16 islinds5.y . . . 4 0 = (0gβ€˜πΉ)
17 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))
181, 13, 14, 15, 16, 17islindf4 21733 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
194, 8, 12, 18syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
2013fvexi 6899 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22 islinds5.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2321, 22, 16, 17frlmelbas 21651 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2420, 8, 23sylancr 586 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2524imbi1d 341 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
26 elmapfn 8861 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2726ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2812adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
2928ffnd 6712 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) Fn 𝑉)
308adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ V)
31 inidm 4213 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘£) = (π‘Žβ€˜π‘£))
33 fvresi 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3527, 29, 30, 30, 31, 32, 34offval 7676 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣)))
3635oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))
3736eqeq1d 2728 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂))
3837imbi1d 341 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
3938pm5.74da 801 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
40 impexp 450 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
41 impexp 450 . . . . . . 7 (((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4241imbi2i 336 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4340, 42bitr4i 278 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4443a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4525, 39, 443bitrd 305 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4645ralbidv2 3167 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
473, 19, 463bitrd 305 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  LModclmod 20706   freeLMod cfrlm 21641   LIndF clindf 21699  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-nzr 20415  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lmhm 20870  df-lbs 20923  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-uvc 21678  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by:  linds2eq  33003  lbsdiflsp0  33229  fedgmullem1  33232  fedgmullem2  33233
  Copyright terms: Public domain W3C validator