Theorem islinds5 30422

Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
islinds5.r	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islinds5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islinds5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islinds5.y	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
islinds5	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑣   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎,𝑣   𝐹,𝑎   𝑣,𝐾   𝑂,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑊,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑎)   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem islinds5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	islinds 20563	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊)))
3	2	baibd 535	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊))
4		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
5	1	fvexi 6462	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
7		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
8	6, 7	ssexd 5044	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ V)
9		f1oi 6430	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10		f1of 6393	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
12	11, 7	fssd 6307	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
13		islinds5.r	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		islinds5.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		islinds5.z	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
16		islinds5.y	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
17		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))
18	1, 13, 14, 15, 16, 17	islindf4 20592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
19	4, 8, 12, 18	syl3anc 1439	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
20	13	fvexi 6462	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
21		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22		islinds5.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
23	21, 22, 16, 17	frlmelbas 20510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
24	20, 8, 23	sylancr 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
25	24	imbi1d 333	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
26		elmapfn 8165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
27	26	ad2antrl 718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑎 Fn 𝑉)
28	12	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
29	28	ffnd 6294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
30	8	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ V)
31		inidm 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32		eqidd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
33		fvresi 6708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
34	33	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
35	27, 29, 30, 30, 31, 32, 34	offval 7183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
36	35	oveq2d 6940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
37	36	eqeq1d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂))
38	37	imbi1d 333	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
39	38	pm5.74da 794	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
40		impexp 443	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
41		impexp 443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
42	41	imbi2i 328	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
43	40, 42	bitr4i 270	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
45	25, 39, 44	3bitrd 297	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
46	45	ralbidv2 3166	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
47	3, 19, 46	3bitrd 297	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967   I cid 5262   × cxp 5355   ↾ cres 5359   Fn wfn 6132  ⟶wf 6133  –1-1-onto→wf1o 6136  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘_𝑓 cof 7174   ↑_𝑚 cmap 8142   finSupp cfsupp 8565  Basecbs 16266  Scalarcsca 16352   ·_𝑠 cvsca 16353  0_gc0g 16497   Σ_g cgsu 16498  LModclmod 19266   freeLMod cfrlm 20500   LIndF clindf 20558  LIndSclinds 20559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-hash 13442  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-lmhm 19428  df-lbs 19481  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-nzr 19666  df-dsmm 20486  df-frlm 20501  df-uvc 20537  df-lindf 20560  df-linds 20561

This theorem is referenced by:  lbsdiflsp0  30448