Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds5 32468
Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds5.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
islinds5.r 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islinds5.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islinds5.z 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
islinds5.y 0 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
islinds5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Distinct variable groups:   0 ,π‘Ž,𝑣   Β· ,π‘Ž,𝑣   𝐡,π‘Ž,𝑣   𝐹,π‘Ž   𝑣,𝐾   𝑂,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑣   π‘Š,π‘Ž,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(π‘Ž)   𝑂(𝑣)
Proof of Theorem islinds5
StepHypRef Expression
1 islinds5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21islinds 21355 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š)))
32baibd 540 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š))
4 simpl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
51fvexi 6902 . . . . 5 𝐡 ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
7 simpr 485 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
86, 7ssexd 5323 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 f1oi 6868 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10 f1of 6830 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
119, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
1211, 7fssd 6732 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
13 islinds5.r . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 islinds5.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 islinds5.z . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
16 islinds5.y . . . 4 0 = (0gβ€˜πΉ)
17 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))
181, 13, 14, 15, 16, 17islindf4 21384 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
194, 8, 12, 18syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
2013fvexi 6902 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22 islinds5.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2321, 22, 16, 17frlmelbas 21302 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2420, 8, 23sylancr 587 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2524imbi1d 341 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
26 elmapfn 8855 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2726ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2812adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
2928ffnd 6715 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) Fn 𝑉)
308adantr 481 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ V)
31 inidm 4217 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘£) = (π‘Žβ€˜π‘£))
33 fvresi 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3527, 29, 30, 30, 31, 32, 34offval 7675 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣)))
3635oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))
3736eqeq1d 2734 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂))
3837imbi1d 341 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
3938pm5.74da 802 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
40 impexp 451 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
41 impexp 451 . . . . . . 7 (((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4241imbi2i 335 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4340, 42bitr4i 277 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4443a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4525, 39, 443bitrd 304 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4645ralbidv2 3173 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
473, 19, 463bitrd 304 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  LModclmod 20463   freeLMod cfrlm 21292   LIndF clindf 21350  LIndSclinds 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lbs 20678  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329  df-lindf 21352  df-linds 21353
This theorem is referenced by:  linds2eq  32485  lbsdiflsp0  32699  fedgmullem1  32702  fedgmullem2  32703
  Copyright terms: Public domain W3C validator