Theorem islinds5 31465

Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
islinds5.r	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islinds5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islinds5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islinds5.y	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
islinds5	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑣   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎,𝑣   𝐹,𝑎   𝑣,𝐾   𝑂,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑊,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑎)   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem islinds5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	islinds 20926	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊)))
3	2	baibd 539	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
5	1	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
8	6, 7	ssexd 5243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ V)
9		f1oi 6737	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10		f1of 6700	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
12	11, 7	fssd 6602	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
13		islinds5.r	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		islinds5.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		islinds5.z	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
16		islinds5.y	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))
18	1, 13, 14, 15, 16, 17	islindf4 20955	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
19	4, 8, 12, 18	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
20	13	fvexi 6770	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22		islinds5.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
23	21, 22, 16, 17	frlmelbas 20873	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
24	20, 8, 23	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
25	24	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
26		elmapfn 8611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
27	26	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑎 Fn 𝑉)
28	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
29	28	ffnd 6585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
30	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ V)
31		inidm 4149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
33		fvresi 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
35	27, 29, 30, 30, 31, 32, 34	offval 7520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
36	35	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
37	36	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂))
38	37	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
39	38	pm5.74da 800	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
40		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
41		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
42	41	imbi2i 335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
43	40, 42	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
45	25, 39, 44	3bitrd 304	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
46	45	ralbidv2 3118	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
47	3, 19, 46	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   × cxp 5578   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  LModclmod 20038   freeLMod cfrlm 20863   LIndF clindf 20921  LIndSclinds 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199  df-lbs 20252  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900  df-lindf 20923  df-linds 20924

This theorem is referenced by:  linds2eq  31477  lbsdiflsp0  31609  fedgmullem1  31612  fedgmullem2  31613