Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds5 32203
Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds5.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
islinds5.r 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islinds5.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islinds5.z 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
islinds5.y 0 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
islinds5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Distinct variable groups:   0 ,π‘Ž,𝑣   Β· ,π‘Ž,𝑣   𝐡,π‘Ž,𝑣   𝐹,π‘Ž   𝑣,𝐾   𝑂,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑣   π‘Š,π‘Ž,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(π‘Ž)   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem islinds5
StepHypRef Expression
1 islinds5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21islinds 21231 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š)))
32baibd 541 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š))
4 simpl 484 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
51fvexi 6857 . . . . 5 𝐡 ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
7 simpr 486 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
86, 7ssexd 5282 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 f1oi 6823 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10 f1of 6785 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
119, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
1211, 7fssd 6687 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
13 islinds5.r . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 islinds5.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 islinds5.z . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
16 islinds5.y . . . 4 0 = (0gβ€˜πΉ)
17 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))
181, 13, 14, 15, 16, 17islindf4 21260 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
194, 8, 12, 18syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
2013fvexi 6857 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22 islinds5.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2321, 22, 16, 17frlmelbas 21178 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2420, 8, 23sylancr 588 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2524imbi1d 342 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
26 elmapfn 8806 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2812adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
2928ffnd 6670 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) Fn 𝑉)
308adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ V)
31 inidm 4179 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘£) = (π‘Žβ€˜π‘£))
33 fvresi 7120 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3433adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3527, 29, 30, 30, 31, 32, 34offval 7627 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣)))
3635oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))
3736eqeq1d 2735 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂))
3837imbi1d 342 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
3938pm5.74da 803 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
40 impexp 452 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
41 impexp 452 . . . . . . 7 (((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4241imbi2i 336 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4340, 42bitr4i 278 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4443a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4525, 39, 443bitrd 305 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4645ralbidv2 3167 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
473, 19, 463bitrd 305 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ↑m cmap 8768   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  LModclmod 20336   freeLMod cfrlm 21168   LIndF clindf 21226  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lbs 20551  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  linds2eq  32216  lbsdiflsp0  32378  fedgmullem1  32381  fedgmullem2  32382
  Copyright terms: Public domain W3C validator