Theorem islinds5 31563

Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
islinds5.r	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islinds5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islinds5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islinds5.y	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
islinds5	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑣   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎,𝑣   𝐹,𝑎   𝑣,𝐾   𝑂,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑊,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑎)   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem islinds5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	islinds 21016	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊)))
3	2	baibd 540	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊))
4		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
5	1	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
7		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
8	6, 7	ssexd 5248	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ V)
9		f1oi 6754	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10		f1of 6716	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
12	11, 7	fssd 6618	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
13		islinds5.r	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		islinds5.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		islinds5.z	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
16		islinds5.y	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))
18	1, 13, 14, 15, 16, 17	islindf4 21045	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
19	4, 8, 12, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
20	13	fvexi 6788	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22		islinds5.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
23	21, 22, 16, 17	frlmelbas 20963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
24	20, 8, 23	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
25	24	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
26		elmapfn 8653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
27	26	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑎 Fn 𝑉)
28	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
29	28	ffnd 6601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
30	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ V)
31		inidm 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
33		fvresi 7045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
35	27, 29, 30, 30, 31, 32, 34	offval 7542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
36	35	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
37	36	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂))
38	37	imbi1d 342	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
39	38	pm5.74da 801	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
40		impexp 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
41		impexp 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
42	41	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
43	40, 42	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
45	25, 39, 44	3bitrd 305	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
46	45	ralbidv2 3110	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
47	3, 19, 46	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   ↑_m cmap 8615   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  LModclmod 20123   freeLMod cfrlm 20953   LIndF clindf 21011  LIndSclinds 21012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lbs 20337  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-nzr 20529  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-uvc 20990  df-lindf 21013  df-linds 21014

This theorem is referenced by:  linds2eq  31575  lbsdiflsp0  31707  fedgmullem1  31710  fedgmullem2  31711