Theorem islinds5 33592

Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
islinds5.r	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islinds5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islinds5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islinds5.y	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
islinds5	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑣   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎,𝑣   𝐹,𝑎   𝑣,𝐾   𝑂,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑊,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑎)   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem islinds5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	islinds 21916	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊)))
3	2	baibd 548	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊))
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
5	1	fvexi 6885	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
8	6, 7	ssexd 5284	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ V)
9		f1oi 6849	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10		f1of 6810	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
11	9, 10	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
12	11, 7	fssd 6713	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
13		islinds5.r	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		islinds5.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		islinds5.z	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
16		islinds5.y	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
17		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))
18	1, 13, 14, 15, 16, 17	islindf4 21945	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
19	4, 8, 12, 18	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
20	13	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
21		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22		islinds5.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
23	21, 22, 16, 17	frlmelbas 21863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
24	20, 8, 23	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
25	24	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
26		elmapfn 8850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
27	26	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑎 Fn 𝑉)
28	12	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
29	28	ffnd 6696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
30	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ V)
31		inidm 4181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
33		fvresi 7161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
34	33	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
35	27, 29, 30, 30, 31, 32, 34	offval 7673	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
36	35	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
37	36	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂))
38	37	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
39	38	pm5.74da 815	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
40		impexp 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
41		impexp 455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
42	41	imbi2i 339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
43	40, 42	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
45	25, 39, 44	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
46	45	ralbidv2 3184	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
47	3, 19, 46	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   I cid 5545   × cxp 5649   ↾ cres 5653   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662   ↑_m cmap 8812   finSupp cfsupp 9309  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481  LModclmod 20947   freeLMod cfrlm 21853   LIndF clindf 21911  LIndSclinds 21912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-nzr 20584  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lmhm 21109  df-lbs 21162  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-dsmm 21839  df-frlm 21854  df-uvc 21890  df-lindf 21913  df-linds 21914

This theorem is referenced by:  linds2eq  33605  lbsdiflsp0  33928  fedgmullem1  33931  fedgmullem2  33932