Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds5 30964
 Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds5.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds5.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
islinds5.r 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islinds5.t · = ( ·𝑠𝑊)
islinds5.z 𝑂 = (0g𝑊)
islinds5.y 0 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
islinds5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑣   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎,𝑣   𝐹,𝑎   𝑣,𝐾   𝑂,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑊,𝑎,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑎)   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem islinds5
StepHypRef Expression
1 islinds5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
21islinds 20496 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑉𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊)))
32baibd 543 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊))
4 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
51fvexi 6666 . . . . 5 𝐵 ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ∈ V)
7 simpr 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉𝐵)
86, 7ssexd 5204 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ V)
9 f1oi 6634 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
10 f1of 6597 . . . . 5 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
119, 10mp1i 13 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
1211, 7fssd 6509 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝐵)
13 islinds5.r . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 islinds5.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
15 islinds5.z . . . 4 𝑂 = (0g𝑊)
16 islinds5.y . . . 4 0 = (0g𝐹)
17 eqid 2822 . . . 4 (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))
181, 13, 14, 15, 16, 17islindf4 20525 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
194, 8, 12, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
2013fvexi 6666 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
21 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22 islinds5.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
2321, 22, 16, 17frlmelbas 20443 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
2420, 8, 23sylancr 590 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
2524imbi1d 345 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
26 elmapfn 8416 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑎 Fn 𝑉)
2812adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝐵)
2928ffnd 6495 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
308adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ V)
31 inidm 4169 . . . . . . . . 9 (𝑉𝑉) = 𝑉
32 eqidd 2823 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑎𝑣) = (𝑎𝑣))
33 fvresi 6917 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3433adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3527, 29, 30, 30, 31, 32, 34offval 7401 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))
3635oveq2d 7156 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))
3736eqeq1d 2824 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂))
3837imbi1d 345 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
3938pm5.74da 803 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
40 impexp 454 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
41 impexp 454 . . . . . . 7 (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
4241imbi2i 339 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
4340, 42bitr4i 281 . . . . 5 (((𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
4443a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
4525, 39, 443bitrd 308 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
4645ralbidv2 3185 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
473, 19, 463bitrd 308 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  {csn 4539   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   I cid 5436   × cxp 5530   ↾ cres 5534   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  –1-1-onto→wf1o 6333  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∘f cof 7392   ↑m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  LModclmod 19625   freeLMod cfrlm 20433   LIndF clindf 20491  LIndSclinds 20492 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lmhm 19785  df-lbs 19838  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-nzr 20022  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-uvc 20470  df-lindf 20493  df-linds 20494 This theorem is referenced by:  linds2eq  30976  lbsdiflsp0  31079  fedgmullem1  31082  fedgmullem2  31083
 Copyright terms: Public domain W3C validator