Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds5 33111
Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds5.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
islinds5.r 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islinds5.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islinds5.z 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
islinds5.y 0 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
islinds5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Distinct variable groups:   0 ,π‘Ž,𝑣   Β· ,π‘Ž,𝑣   𝐡,π‘Ž,𝑣   𝐹,π‘Ž   𝑣,𝐾   𝑂,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑣   π‘Š,π‘Ž,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(π‘Ž)   𝑂(𝑣)
Proof of Theorem islinds5
StepHypRef Expression
1 islinds5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21islinds 21757 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š)))
32baibd 538 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š))
4 simpl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
51fvexi 6916 . . . . 5 𝐡 ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
7 simpr 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
86, 7ssexd 5328 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 f1oi 6882 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10 f1of 6844 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
119, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
1211, 7fssd 6745 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
13 islinds5.r . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 islinds5.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 islinds5.z . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
16 islinds5.y . . . 4 0 = (0gβ€˜πΉ)
17 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))
181, 13, 14, 15, 16, 17islindf4 21786 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
194, 8, 12, 18syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
2013fvexi 6916 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
21 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22 islinds5.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2321, 22, 16, 17frlmelbas 21704 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2420, 8, 23sylancr 585 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2524imbi1d 340 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
26 elmapfn 8892 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2726ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2812adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
2928ffnd 6728 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) Fn 𝑉)
308adantr 479 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ V)
31 inidm 4221 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘£) = (π‘Žβ€˜π‘£))
33 fvresi 7188 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3433adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3527, 29, 30, 30, 31, 32, 34offval 7701 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣)))
3635oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))
3736eqeq1d 2730 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂))
3837imbi1d 340 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
3938pm5.74da 802 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
40 impexp 449 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
41 impexp 449 . . . . . . 7 (((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4241imbi2i 335 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4340, 42bitr4i 277 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
4443a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4525, 39, 443bitrd 304 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })))))
4645ralbidv2 3171 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝑉))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 })) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
473, 19, 463bitrd 304 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— { 0 }))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690   ↑m cmap 8853   finSupp cfsupp 9395  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  0gc0g 17430   Ξ£g cgsu 17431  LModclmod 20757   freeLMod cfrlm 21694   LIndF clindf 21752  LIndSclinds 21753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-nzr 20466  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lmhm 20921  df-lbs 20974  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-uvc 21731  df-lindf 21754  df-linds 21755
This theorem is referenced by:  linds2eq  33129  lbsdiflsp0  33365  fedgmullem1  33368  fedgmullem2  33369
  Copyright terms: Public domain W3C validator