Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspds 33104
Description: Variation on ellspd 21743. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspds.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
ellspds.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
ellspds.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ellspds.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
ellspds.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
ellspds.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
ellspds.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ellspds (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜π‘‰) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐾,π‘Ž,𝑣   𝑁,π‘Ž   𝑀,π‘Ž   𝑆,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑣   πœ‘,π‘Ž,𝑣   0 ,π‘Ž   Β· ,π‘Ž,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds
StepHypRef Expression
1 ellspds.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
2 ellspds.v . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3 ellspds.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
4 ellspds.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
5 ellspds.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘†)
6 ellspds.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
7 f1oi 6882 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
8 f1of 6844 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
97, 8mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
10 ellspds.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
119, 10fssd 6745 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ΅)
12 ellspds.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
132fvexi 6916 . . . . 5 𝐡 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
1514, 10ssexd 5328 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15ellspd 21743 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(( I β†Ύ 𝑉) β€œ 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))))))
17 ssid 4004 . . . . 5 𝑉 βŠ† 𝑉
18 resiima 6084 . . . . 5 (𝑉 βŠ† 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉) β€œ 𝑉) = 𝑉)
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ 𝑉) β€œ 𝑉) = 𝑉)
2019fveq2d 6906 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(( I β†Ύ 𝑉) β€œ 𝑉)) = (π‘β€˜π‘‰))
2120eleq2d 2815 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(( I β†Ύ 𝑉) β€œ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (π‘β€˜π‘‰)))
22 elmapfn 8890 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
2322adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
247, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ ( I β†Ύ 𝑉):π‘‰βŸΆπ‘‰)
2524ffnd 6728 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) Fn 𝑉)
2615adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑉 ∈ V)
27 inidm 4221 . . . . . . 7 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
28 eqidd 2729 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘£) = (π‘Žβ€˜π‘£))
29 fvresi 7188 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3029adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘£) = 𝑣)
3123, 25, 26, 26, 27, 28, 30offval 7700 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣)))
3231oveq2d 7442 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))
3332eqeq2d 2739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣)))))
3433anbi2d 628 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉)))) ↔ (π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))))
3534rexbidva 3174 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· ( I β†Ύ 𝑉)))) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))))
3616, 21, 353bitr3d 308 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜π‘‰) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝑣))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689   ↑m cmap 8851   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20459  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lmhm 20914  df-lbs 20967  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-uvc 21724
This theorem is referenced by:  elrsp  33109  lbslsp  33117  lbsdiflsp0  33357  fedgmul  33362
  Copyright terms: Public domain W3C validator