Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspds 30965
 Description: Variation on ellspd 20489. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspds.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspds.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspds.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspds.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspds.z 0 = (0g𝑆)
ellspds.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspds.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1 (𝜑𝑉𝐵)
Assertion
Ref Expression
ellspds (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑁,𝑎   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑋,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝜑,𝑎,𝑣   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds
StepHypRef Expression
1 ellspds.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2 ellspds.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 ellspds.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 ellspds.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 ellspds.z . . 3 0 = (0g𝑆)
6 ellspds.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑀)
7 f1oi 6634 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
8 f1of 6597 . . . . 5 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
97, 8mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
10 ellspds.1 . . . 4 (𝜑𝑉𝐵)
119, 10fssd 6509 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝐵)
12 ellspds.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
132fvexi 6666 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
1514, 10ssexd 5204 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15ellspd 20489 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))))))
17 ssid 3964 . . . . 5 𝑉𝑉
18 resiima 5922 . . . . 5 (𝑉𝑉 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
2019fveq2d 6656 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) = (𝑁𝑉))
2120eleq2d 2899 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁𝑉)))
22 elmapfn 8416 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
2322adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
247, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
2524ffnd 6495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
2615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
27 inidm 4169 . . . . . . 7 (𝑉𝑉) = 𝑉
28 eqidd 2823 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑎𝑣) = (𝑎𝑣))
29 fvresi 6917 . . . . . . . 8 (𝑣𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3029adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3123, 25, 26, 26, 27, 28, 30offval 7401 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))
3231oveq2d 7156 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))
3332eqeq2d 2833 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))))
3433anbi2d 631 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3534rexbidva 3282 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3616, 21, 353bitr3d 312 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   I cid 5436   ↾ cres 5534   “ cima 5535   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  –1-1-onto→wf1o 6333  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∘f cof 7392   ↑m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  LModclmod 19625  LSpanclspn 19734 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lmhm 19785  df-lbs 19838  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-nzr 20022  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-uvc 20470 This theorem is referenced by:  elrsp  30970  lbslsp  30973  lbsdiflsp0  31079  fedgmul  31084
 Copyright terms: Public domain W3C validator