Theorem ellspds 32469

Description: Variation on ellspd 21348. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspds.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspds.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspds.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspds.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspds.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspds.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ellspds.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ellspds	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑁,𝑎   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑋,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝜑,𝑎,𝑣   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspds.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2		ellspds.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		ellspds.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		ellspds.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		ellspds.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		ellspds.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
7		f1oi 6868	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
8		f1of 6830	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
9	7, 8	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
10		ellspds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	fssd 6732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
12		ellspds.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13	2	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5323	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15	ellspd 21348	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))))))
17		ssid 4003	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ⊆ 𝑉
18		resiima 6072	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
19	17, 18	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
20	19	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) = (𝑁‘𝑉))
21	20	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉)))
22		elmapfn 8855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
24	7, 8	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
25	24	ffnd 6715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
26	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
27		inidm 4217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
28		eqidd 2733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
29		fvresi 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
31	23, 25, 26, 26, 27, 28, 30	offval 7675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
32	31	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
33	32	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))))
34	33	anbi2d 629	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ (𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
35	34	rexbidva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
36	16, 21, 35	3bitr3d 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   ↾ cres 5677   “ cima 5678   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664   ↑_m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lbs 20678  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329

This theorem is referenced by:  elrsp  32474  lbslsp  32481  lbsdiflsp0  32699  fedgmul  32704