Theorem ellspds 33706

Description: Variation on ellspd 21981. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspds.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspds.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspds.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspds.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspds.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspds.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ellspds.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ellspds	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑁,𝑎   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑋,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝜑,𝑎,𝑣   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspds.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2		ellspds.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		ellspds.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		ellspds.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		ellspds.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		ellspds.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
7		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
8		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
9	7, 8	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
10		ellspds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	fssd 6727	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
12		ellspds.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13	2	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5297	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15	ellspd 21981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))))))
17		ssid 3960	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ⊆ 𝑉
18		resiima 6080	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
19	17, 18	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
20	19	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) = (𝑁‘𝑉))
21	20	eleq2d 2851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉)))
22		elmapfn 8864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
24	7, 8	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
25	24	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
26	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
27		inidm 4179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
28		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
29		fvresi 7175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
30	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
31	23, 25, 26, 26, 27, 28, 30	offval 7689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
32	31	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
33	32	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))))
34	33	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ (𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
35	34	rexbidva 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
36	16, 21, 35	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   I cid 5557   ↾ cres 5665   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7678   ↑_m cmap 8826   finSupp cfsupp 9324  Basecbs 17286  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331  0_gc0g 17509   Σ_g cgsu 17510  LModclmod 21010  LSpanclspn 21121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-nzr 20639  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lmhm 21172  df-lbs 21225  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-dsmm 21911  df-frlm 21926  df-uvc 21962

This theorem is used by:  elrsp  33709  lbslsp  33713  lbsdiflsp0  34039  fedgmul  34044  fldextrspunlsplem  34086  fldextrspunlsp  34087