Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspds 33376
Description: Variation on ellspd 21840. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspds.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspds.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspds.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspds.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspds.z 0 = (0g𝑆)
ellspds.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspds.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1 (𝜑𝑉𝐵)
Assertion
Ref Expression
ellspds (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑁,𝑎   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑋,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝜑,𝑎,𝑣   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds
StepHypRef Expression
1 ellspds.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2 ellspds.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 ellspds.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 ellspds.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 ellspds.z . . 3 0 = (0g𝑆)
6 ellspds.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑀)
7 f1oi 6887 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
8 f1of 6849 . . . . 5 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
97, 8mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
10 ellspds.1 . . . 4 (𝜑𝑉𝐵)
119, 10fssd 6754 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝐵)
12 ellspds.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
132fvexi 6921 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
1514, 10ssexd 5330 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15ellspd 21840 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))))))
17 ssid 4018 . . . . 5 𝑉𝑉
18 resiima 6096 . . . . 5 (𝑉𝑉 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
2019fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) = (𝑁𝑉))
2120eleq2d 2825 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁𝑉)))
22 elmapfn 8904 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
247, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
2524ffnd 6738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
2615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
27 inidm 4235 . . . . . . 7 (𝑉𝑉) = 𝑉
28 eqidd 2736 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑎𝑣) = (𝑎𝑣))
29 fvresi 7193 . . . . . . . 8 (𝑣𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3029adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3123, 25, 26, 26, 27, 28, 30offval 7706 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))
3231oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))
3332eqeq2d 2746 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))))
3433anbi2d 630 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3534rexbidva 3175 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3616, 21, 353bitr3d 309 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lbs 21092  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821
This theorem is referenced by:  elrsp  33380  lbslsp  33385  lbsdiflsp0  33654  fedgmul  33659
  Copyright terms: Public domain W3C validator