Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspds 33361
Description: Variation on ellspd 21845. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspds.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspds.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspds.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspds.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspds.z 0 = (0g𝑆)
ellspds.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspds.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1 (𝜑𝑉𝐵)
Assertion
Ref Expression
ellspds (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑁,𝑎   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑋,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝜑,𝑎,𝑣   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds
StepHypRef Expression
1 ellspds.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2 ellspds.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 ellspds.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 ellspds.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 ellspds.z . . 3 0 = (0g𝑆)
6 ellspds.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑀)
7 f1oi 6900 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
8 f1of 6862 . . . . 5 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
97, 8mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
10 ellspds.1 . . . 4 (𝜑𝑉𝐵)
119, 10fssd 6764 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝐵)
12 ellspds.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
132fvexi 6934 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
1514, 10ssexd 5342 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15ellspd 21845 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))))))
17 ssid 4031 . . . . 5 𝑉𝑉
18 resiima 6105 . . . . 5 (𝑉𝑉 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
2019fveq2d 6924 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) = (𝑁𝑉))
2120eleq2d 2830 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁𝑉)))
22 elmapfn 8923 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
247, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
2524ffnd 6748 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
2615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
27 inidm 4248 . . . . . . 7 (𝑉𝑉) = 𝑉
28 eqidd 2741 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑎𝑣) = (𝑎𝑣))
29 fvresi 7207 . . . . . . . 8 (𝑣𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3029adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3123, 25, 26, 26, 27, 28, 30offval 7723 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))
3231oveq2d 7464 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))
3332eqeq2d 2751 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))))
3433anbi2d 629 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3534rexbidva 3183 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3616, 21, 353bitr3d 309 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076  Vcvv 3488  wss 3976   class class class wbr 5166  cmpt 5249   I cid 5592  cres 5702  cima 5703   Fn wfn 6568  wf 6569  1-1-ontowf1o 6572  cfv 6573  (class class class)co 7448  f cof 7712  m cmap 8884   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·𝑠 cvsca 17315  0gc0g 17499   Σg cgsu 17500  LModclmod 20880  LSpanclspn 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-nzr 20539  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lmhm 21044  df-lbs 21097  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-uvc 21826
This theorem is referenced by:  elrsp  33365  lbslsp  33370  lbsdiflsp0  33639  fedgmul  33644
  Copyright terms: Public domain W3C validator