Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspds 30606
Description: Variation on ellspd 20651. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspds.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspds.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspds.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspds.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspds.z 0 = (0g𝑆)
ellspds.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspds.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1 (𝜑𝑉𝐵)
Assertion
Ref Expression
ellspds (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑁,𝑎   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑋,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝜑,𝑎,𝑣   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds
StepHypRef Expression
1 ellspds.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2 ellspds.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 ellspds.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 ellspds.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 ellspds.z . . 3 0 = (0g𝑆)
6 ellspds.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑀)
7 f1oi 6483 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
8 f1of 6446 . . . . 5 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
97, 8mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
10 ellspds.1 . . . 4 (𝜑𝑉𝐵)
119, 10fssd 6360 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝐵)
12 ellspds.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
132fvexi 6515 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
1514, 10ssexd 5085 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15ellspd 20651 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎𝑓 · ( I ↾ 𝑉))))))
17 ssid 3881 . . . . 5 𝑉𝑉
18 resiima 5786 . . . . 5 (𝑉𝑉 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
2019fveq2d 6505 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) = (𝑁𝑉))
2120eleq2d 2851 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁𝑉)))
22 elmapfn 8231 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
2322adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
247, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
2524ffnd 6347 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
2615adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
27 inidm 4084 . . . . . . 7 (𝑉𝑉) = 𝑉
28 eqidd 2779 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑎𝑣) = (𝑎𝑣))
29 fvresi 6760 . . . . . . . 8 (𝑣𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3029adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
3123, 25, 26, 26, 27, 28, 30offval 7236 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → (𝑎𝑓 · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))
3231oveq2d 6994 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → (𝑀 Σg (𝑎𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))
3332eqeq2d 2788 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎𝑓 · ( I ↾ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣)))))
3433anbi2d 619 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎𝑓 · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3534rexbidva 3241 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎𝑓 · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
3616, 21, 353bitr3d 301 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3089  Vcvv 3415  wss 3831   class class class wbr 4930  cmpt 5009   I cid 5312  cres 5410  cima 5411   Fn wfn 6185  wf 6186  1-1-ontowf1o 6189  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑓 cof 7227  𝑚 cmap 8208   finSupp cfsupp 8630  Basecbs 16342  Scalarcsca 16427   ·𝑠 cvsca 16428  0gc0g 16572   Σg cgsu 16573  LModclmod 19359  LSpanclspn 19468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-hash 13509  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-subrg 19259  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-lsp 19469  df-lmhm 19519  df-lbs 19572  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-nzr 19755  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-uvc 20632
This theorem is referenced by:  lbslsp  30609  lbsdiflsp0  30651  fedgmul  30656
  Copyright terms: Public domain W3C validator