Theorem ellspds 33622

Description: Variation on ellspd 21917. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspds.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspds.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspds.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspds.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspds.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspds.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ellspds.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
ellspds.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ellspds	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑁,𝑎   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑋,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝜑,𝑎,𝑣   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem ellspds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspds.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2		ellspds.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		ellspds.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		ellspds.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		ellspds.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		ellspds.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
7		f1oi 6857	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
8		f1of 6818	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
9	7, 8	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
10		ellspds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	fssd 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
12		ellspds.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13	2	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 15	ellspd 21917	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))))))
17		ssid 3967	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ⊆ 𝑉
18		resiima 6076	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
19	17, 18	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑉) “ 𝑉) = 𝑉)
20	19	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) = (𝑁‘𝑉))
21	20	eleq2d 2855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(( I ↾ 𝑉) “ 𝑉)) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉)))
22		elmapfn 8858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
23	22	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
24	7, 8	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
25	24	ffnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
26	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
27		inidm 4187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
28		eqidd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
29		fvresi 7169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
30	29	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
31	23, 25, 26, 26, 27, 28, 30	offval 7681	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
32	31	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
33	32	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))))
34	33	anbi2d 641	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ (𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
35	34	rexbidva 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
36	16, 21, 35	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5553   ↾ cres 5661   “ cima 5662   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7670   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17265  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488   Σ_g cgsu 17489  LModclmod 20955  LSpanclspn 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-nzr 20592  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lmhm 21117  df-lbs 21170  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-dsmm 21847  df-frlm 21862  df-uvc 21898

This theorem is referenced by:  elrsp  33625  lbslsp  33630  lbsdiflsp0  33957  fedgmul  33962  fldextrspunlsplem  34004  fldextrspunlsp  34005