MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matplusgcell 21680
Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matplusgcell.p = (+g𝐴)
matplusgcell.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matplusgcell (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matplusgcell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 matplusgcell.p . . . . 5 = (+g𝐴)
4 matplusgcell.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
51, 2, 3, 4matplusg2 21674 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋f + 𝑌))
65oveqd 7346 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋f + 𝑌)𝐽))
76adantr 481 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋f + 𝑌)𝐽))
8 df-ov 7332 . . 3 (𝐼(𝑋f + 𝑌)𝐽) = ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
98a1i 11 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋f + 𝑌)𝐽) = ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
10 opelxp 5650 . . 3 (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁) ↔ (𝐼𝑁𝐽𝑁))
11 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
121, 11, 2matbas2i 21669 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13 elmapfn 8716 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
161, 11, 2matbas2i 21669 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17 elmapfn 8716 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑌𝐵𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
1918adantl 482 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
201, 2matrcl 21657 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
21 xpfi 9174 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2221anidms 567 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2420, 23syl 17 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2524adantr 481 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
26 inidm 4164 . . . 4 ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
27 df-ov 7332 . . . . . 6 (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
2827eqcomi 2745 . . . . 5 (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
2928a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
30 df-ov 7332 . . . . . 6 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
3130eqcomi 2745 . . . . 5 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
3231a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
3315, 19, 25, 25, 26, 29, 32ofval 7598 . . 3 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
3410, 33sylan2br 595 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
357, 9, 343eqtrd 2780 1 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  cop 4578   × cxp 5612   Fn wfn 6468  cfv 6473  (class class class)co 7329  f cof 7585  m cmap 8678  Fincfn 8796  Basecbs 17001  +gcplusg 17051   Mat cmat 21652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-hom 17075  df-cco 17076  df-0g 17241  df-prds 17247  df-pws 17249  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-dsmm 21037  df-frlm 21052  df-mat 21653
This theorem is referenced by:  mat1ghm  21730  cpmatacl  21963  mat2pmatghm  21977  pm2mpghm  22063
  Copyright terms: Public domain W3C validator