Theorem matplusgcell 22781

Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matplusgcell.p	⊢ + = (+g‘𝐴)
matplusgcell.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matplusgcell	⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 + 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matplusgcell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		matplusgcell.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐴)
4		matplusgcell.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	matplusg2 22775	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))
6	5	oveqd 7463	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋 + 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋 ∘f + 𝑌)𝐽))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 + 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋 ∘f + 𝑌)𝐽))
8		df-ov 7449	. . 3 ⊢ (𝐼(𝑋 ∘f + 𝑌)𝐽) = ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 ∘f + 𝑌)𝐽) = ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
10		opelxp 5692	. . 3 ⊢ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁) ↔ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	1, 11, 2	matbas2i 22770	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13		elmapfn 8918	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
16	1, 11, 2	matbas2i 22770	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17		elmapfn 8918	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
20	1, 2	matrcl 22760	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
21		xpfi 9342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
22	21	anidms 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
24	20, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
26		inidm 4126	. . . 4 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
27		df-ov 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
28	27	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
30		df-ov 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
31	30	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
33	15, 19, 25, 25, 26, 29, 32	ofval 7731	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
34	10, 33	sylan2br 607	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
35	7, 9, 34	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 + 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟨cop 4838   × cxp 5654   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∘_f cof 7718   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460   Mat cmat 22755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-prds 17650  df-pws 17652  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-mat 22756

This theorem is used by:  mat1ghm  22831  cpmatacl  23067  mat2pmatghm  23081  pm2mpghm  23167