MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerlem1 20818
Description: Lemma 1 for cramer 20822. (Contributed by AV, 21-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramerlem1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramerlem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ CRing)
21anim1i 609 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑁))
3 simpl2 1245 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑋𝐵𝑌𝑉))
4 pm3.22 452 . . . . . . 7 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
543adant2 1162 . . . . . 6 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
653ad2ant3 1166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
76adantr 473 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
8 cramer.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 cramer.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
10 cramer.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
11 eqid 2798 . . . . 5 (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝑎) = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝑎)
12 eqid 2798 . . . . 5 ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)
13 cramer.x . . . . 5 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
14 cramer.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
15 cramer.q . . . . 5 / = (/r𝑅)
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cramerimp 20817 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)))
172, 3, 7, 16syl3anc 1491 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)))
1817ralrimiva 3146 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ∀𝑎𝑁 (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)))
19 elmapfn 8117 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) → 𝑍 Fn 𝑁)
2019, 10eleq2s 2895 . . . . 5 (𝑍𝑉𝑍 Fn 𝑁)
21203ad2ant2 1165 . . . 4 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 Fn 𝑁)
22213ad2ant3 1166 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 Fn 𝑁)
23 2fveq3 6415 . . . 4 (𝑎 = 𝑖 → (𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) = (𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)))
2423oveq1d 6892 . . 3 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))
25 ovexd 6911 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)) ∈ V)
26 ovexd 6911 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑖𝑁) → ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)) ∈ V)
2722, 24, 25, 26fnmptfvd 6545 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ ∀𝑎𝑁 (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋))))
2818, 27mpbird 249 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3088  Vcvv 3384  cop 4373  cmpt 4921   Fn wfn 6095  cfv 6100  (class class class)co 6877  𝑚 cmap 8094  Basecbs 16181  1rcur 18814  CRingccrg 18861  Unitcui 18952  /rcdvr 18995   Mat cmat 20535   maVecMul cmvmul 20669   matRepV cmatrepV 20686   maDet cmdat 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-addf 10302  ax-mulf 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-xor 1635  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-ot 4376  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-supp 7532  df-tpos 7589  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-2o 7799  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-pm 8097  df-ixp 8148  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-fsupp 8517  df-sup 8589  df-oi 8656  df-card 9050  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-xnn0 11650  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-rp 12072  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-seq 13053  df-exp 13112  df-hash 13368  df-word 13532  df-lsw 13580  df-concat 13588  df-s1 13613  df-substr 13662  df-pfx 13711  df-splice 13818  df-reverse 13836  df-s2 13930  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-prds 16420  df-pws 16422  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-gim 18011  df-cntz 18059  df-oppg 18085  df-symg 18107  df-pmtr 18171  df-psgn 18220  df-evpm 18221  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-srg 18819  df-ring 18862  df-cring 18863  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-rnghom 19030  df-drng 19064  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-cnfld 20066  df-zring 20138  df-zrh 20171  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mamu 20512  df-mat 20536  df-mvmul 20670  df-marrep 20687  df-marepv 20688  df-subma 20706  df-mdet 20714  df-minmar1 20764
This theorem is referenced by:  cramerlem2  20819  cramer  20822
  Copyright terms: Public domain W3C validator