Theorem eqmat 22379

Description: Two square matrices of the same dimension are equal if they have the same entries. (Contributed by AV, 25-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
eqmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eqmat	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem eqmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqmat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	matbas2i 22377	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
5		elmapfn 8887	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
7	1, 2, 3	matbas2i 22377	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8		elmapfn 8887	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
10		eqfnov2 7545	. 2 ⊢ ((𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))
11	6, 9, 10	syl2an 596	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   × cxp 5663   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8848  Basecbs 17230   Mat cmat 22360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-hom 17298  df-cco 17299  df-0g 17458  df-prds 17464  df-pws 17466  df-sra 21141  df-rgmod 21142  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-mat 22361

This theorem is referenced by:  mat1ghm  22438  mat1mhm  22439  scmatscmiddistr  22463  scmatmats  22466  scmatscm  22468  scmatf1  22486  mat2pmatf1  22684  mat2pmat1  22687  mat2pmatlin  22690  m2cpminvid  22708  m2cpminvid2  22710  decpmataa0  22723  decpmatmul  22727  pmatcollpw1  22731  monmatcollpw  22734  pmatcollpw  22736  pmatcollpwscmatlem2  22745  pm2mpf1  22754  mp2pm2mplem4  22764  submateq  33783  madjusmdetlem3  33803