Theorem eqmat 22739

Description: Two square matrices of the same dimension are equal if they have the same entries. (Contributed by AV, 25-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
eqmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eqmat	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑖, 𝑗)   𝑅(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem eqmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqmat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	matbas2i 22737	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
5		elmapfn 8887	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
7	1, 2, 3	matbas2i 22737	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8		elmapfn 8887	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
10		eqfnov2 7550	. 2 ⊢ ((𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))
11	6, 9, 10	syl2an 608	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   × cxp 5649   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Basecbs 17387   Mat cmat 22722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-mat 22723

This theorem is used by:  mat1ghm  22798  mat1mhm  22799  scmatscmiddistr  22823  scmatmats  22826  scmatscm  22828  scmatf1  22846  mat2pmatf1  23047  mat2pmat1  23050  mat2pmatlin  23053  m2cpminvid  23071  m2cpminvid2  23073  decpmataa0  23086  decpmatmul  23090  pmatcollpw1  23094  monmatcollpw  23097  pmatcollpw  23099  pmatcollpwscmatlem2  23108  pm2mpf1  23117  mp2pm2mplem4  23127  submateq  34441  madjusmdetlem3  34461