Theorem eqmat 21125

Description: Two square matrices of the same dimension are equal if they have the same entries. (Contributed by AV, 25-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
eqmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eqmat	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem eqmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqmat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	matbas2i 21123	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
5		elmapfn 8448	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
7	1, 2, 3	matbas2i 21123	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8		elmapfn 8448	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
10		eqfnov2 7277	. 2 ⊢ ((𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))
11	6, 9, 10	syl2an 599	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖𝑌𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   × cxp 5523   Fn wfn 6331  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ↑_m cmap 8417  Basecbs 16542   Mat cmat 21108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-sup 8940  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-fz 12941  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-hom 16648  df-cco 16649  df-0g 16774  df-prds 16780  df-pws 16782  df-sra 20013  df-rgmod 20014  df-dsmm 20498  df-frlm 20513  df-mat 21109

This theorem is referenced by:  mat1ghm  21184  mat1mhm  21185  scmatscmiddistr  21209  scmatmats  21212  scmatscm  21214  scmatf1  21232  mat2pmatf1  21430  mat2pmat1  21433  mat2pmatlin  21436  m2cpminvid  21454  m2cpminvid2  21456  decpmataa0  21469  decpmatmul  21473  pmatcollpw1  21477  monmatcollpw  21480  pmatcollpw  21482  pmatcollpwscmatlem2  21491  pm2mpf1  21500  mp2pm2mplem4  21510  submateq  31281  madjusmdetlem3  31301