Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnrebl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnrebl2 32646
Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
opnrebl2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnrebl2
StepHypRef Expression
1 eqid 2817 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 22815 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3 eqid 2817 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
41, 3tgioo 22820 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
54mopnss 22472 . . . 4 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
62, 5mpan 673 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
74mopni3 22520 . . . . . . . 8 (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
87ex 399 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
92, 8mp3an1 1565 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
106sselda 3809 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 rpre 12060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
121bl2ioo 22816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
1311, 12sylan2 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
1413sseq1d 3840 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
1514anbi2d 616 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
1615rexbidva 3248 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
1716biimpd 220 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
18 rpre 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
19 ltle 10418 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦𝑧𝑦))
2011, 18, 19syl2anr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 < 𝑦𝑧𝑦))
2120anim1d 600 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2221reximdva 3215 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2317, 22syl9 77 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
2410, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
259, 24mpdd 43 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2625expimpd 443 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2726ralrimivv 3169 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
286, 27jca 503 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
29 ssel2 3804 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 1rp 12057 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
31 simpr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
3231reximi 3209 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
3332ralimi 3151 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
34 biidd 253 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
3534rspcv 3509 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
3630, 33, 35mpsyl 68 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
3714rexbidva 3248 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
3836, 37syl5ibr 237 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
3929, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
4039ralimdva 3161 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
4140imdistani 560 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
424elmopn2 22471 . . . 4 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
432, 42ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
4441, 43sylibr 225 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
4528, 44impbii 200 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3107  wrex 3108  wss 3780   class class class wbr 4855   × cxp 5320  ran crn 5323  cres 5324  ccom 5326  cfv 6108  (class class class)co 6881  cr 10227  1c1 10229   + caddc 10231   < clt 10366  cle 10367  cmin 10558  +crp 12053  (,)cioo 12400  abscabs 14204  topGenctg 16310  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948  MetOpencmopn 19951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-sup 8594  df-inf 8595  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-q 12015  df-rp 12054  df-xneg 12169  df-xadd 12170  df-xmul 12171  df-ioo 12404  df-seq 13032  df-exp 13091  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-topgen 16316  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20920  df-topon 20937  df-bases 20972
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator