Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnrebl2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opnrebl2 35510
Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
opnrebl2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴
Proof of Theorem opnrebl2
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24528 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 eqid 2731 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
41, 3tgioo 24533 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
54mopnss 24173 . . . 4 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
62, 5mpan 687 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
74mopni3 24224 . . . . . . . 8 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
87ex 412 . . . . . . 7 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴)))
92, 8mp3an1 1447 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴)))
106sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 rpre 12987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
121bl2ioo 24529 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)))
1311, 12sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)))
1413sseq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴 ↔ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
1514anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
1615rexbidva 3175 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
1716biimpd 228 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
18 rpre 12987 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
19 ltle 11307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 < 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))
2011, 18, 19syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (𝑧 < 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))
2120anim1d 610 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2221reximdva 3167 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2317, 22syl9 77 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))))
2410, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))))
259, 24mpdd 43 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2625expimpd 453 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2726ralrimivv 3197 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
286, 27jca 511 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
29 ssel2 3977 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
30 1rp 12983 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
31 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
3231reximi 3083 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
3332ralimi 3082 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
34 biidd 262 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
3534rspcv 3608 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
3630, 33, 35mpsyl 68 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
3714rexbidva 3175 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
3836, 37imbitrrid 245 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
3929, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
4039ralimdva 3166 . . . 4 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
4140imdistani 568 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
424elmopn2 24172 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴)))
432, 42ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
4441, 43sylibr 233 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
4528, 44impbii 208 1 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  abscabs 15186  topGenctg 17388  βˆžMetcxmet 21130  ballcbl 21132  MetOpencmopn 21135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator