Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnrebl2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opnrebl2 35292
Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
opnrebl2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴
Proof of Theorem opnrebl2
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24314 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
41, 3tgioo 24319 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
54mopnss 23959 . . . 4 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
62, 5mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
74mopni3 24010 . . . . . . . 8 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
87ex 413 . . . . . . 7 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴)))
92, 8mp3an1 1448 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴)))
106sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 rpre 12984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
121bl2ioo 24315 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)))
1311, 12sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)))
1413sseq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴 ↔ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
1514anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
1615rexbidva 3176 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
1716biimpd 228 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
18 rpre 12984 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
19 ltle 11304 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 < 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))
2011, 18, 19syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (𝑧 < 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))
2120anim1d 611 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2221reximdva 3168 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2317, 22syl9 77 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))))
2410, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))))
259, 24mpdd 43 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2625expimpd 454 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
2726ralrimivv 3198 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
286, 27jca 512 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
29 ssel2 3977 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
30 1rp 12980 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
31 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
3231reximi 3084 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
3332ralimi 3083 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
34 biidd 261 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
3534rspcv 3608 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
3630, 33, 35mpsyl 68 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)
3714rexbidva 3176 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴))
3836, 37imbitrrid 245 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
3929, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
4039ralimdva 3167 . . . 4 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
4140imdistani 569 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
424elmopn2 23958 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴)))
432, 42ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑧) βŠ† 𝐴))
4441, 43sylibr 233 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
4528, 44impbii 208 1 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)(,)(π‘₯ + 𝑧)) βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  abscabs 15183  topGenctg 17385  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937  MetOpencmopn 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator