Theorem opnrebl2 36316

Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opnrebl2	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnrebl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24686	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1, 3	tgioo 24691	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5	4	mopnss 24341	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	2, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	4	mopni3 24389	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
9	2, 8	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
10	6	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rpre 12967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
12	1	bl2ioo 24687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
14	13	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
16	15	rexbidva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
18		rpre 12967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
19		ltle 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
20	11, 18, 19	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
21	20	anim1d 611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
22	21	reximdva 3147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
23	17, 22	syl9 77	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
24	10, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
25	9, 24	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
26	25	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
27	26	ralrimivv 3179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
28	6, 27	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
29		ssel2 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		1rp 12962	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
32	31	reximi 3068	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
33	32	ralimi 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
34		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
35	34	rspcv 3587	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
36	30, 33, 35	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
37	14	rexbidva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
38	36, 37	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
39	29, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
40	39	ralimdva 3146	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
41	40	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
42	4	elmopn2 24340	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
43	2, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
44	41, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
45	28, 44	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ran crn 5642   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  abscabs 15207  topGenctg 17407  ∞Metcxmet 21256  ballcbl 21258  MetOpencmopn 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840

This theorem is referenced by: (None)