Theorem opnrebl2 36503

Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opnrebl2	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnrebl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24756	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1, 3	tgioo 24761	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5	4	mopnss 24411	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	2, 5	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	4	mopni3 24459	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
9	2, 8	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
10	6	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rpre 12951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
12	1	bl2ioo 24757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
13	11, 12	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
14	13	sseq1d 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
16	15	rexbidva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
18		rpre 12951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
19		ltle 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
20	11, 18, 19	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
21	20	anim1d 612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
22	21	reximdva 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
23	17, 22	syl9 77	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
24	10, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
25	9, 24	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
26	25	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
27	26	ralrimivv 3178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
28	6, 27	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
29		ssel2 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		1rp 12946	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
32	31	reximi 3075	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
33	32	ralimi 3074	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
34		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
35	34	rspcv 3560	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
36	30, 33, 35	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
37	14	rexbidva 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
38	36, 37	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
39	29, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
40	39	ralimdva 3149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
41	40	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
42	4	elmopn2 24410	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
43	2, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
44	41, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
45	28, 44	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  abscabs 15196  topGenctg 17400  ∞Metcxmet 21337  ballcbl 21339  MetOpencmopn 21342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911

This theorem is referenced by: (None)