Theorem opnrebl2 36295

Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opnrebl2	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnrebl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24677	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1, 3	tgioo 24682	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5	4	mopnss 24332	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	2, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	4	mopni3 24380	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
9	2, 8	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
10	6	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rpre 12902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
12	1	bl2ioo 24678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
14	13	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
16	15	rexbidva 3151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
18		rpre 12902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
19		ltle 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
20	11, 18, 19	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
21	20	anim1d 611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
22	21	reximdva 3142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
23	17, 22	syl9 77	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
24	10, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
25	9, 24	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
26	25	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
27	26	ralrimivv 3170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
28	6, 27	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
29		ssel2 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		1rp 12897	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
32	31	reximi 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
33	32	ralimi 3066	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
34		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
35	34	rspcv 3573	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
36	30, 33, 35	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
37	14	rexbidva 3151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
38	36, 37	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
39	29, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
40	39	ralimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
41	40	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
42	4	elmopn2 24331	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
43	2, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
44	41, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
45	28, 44	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℝ⁺crp 12893  (,)cioo 13248  abscabs 15141  topGenctg 17341  ∞Metcxmet 21246  ballcbl 21248  MetOpencmopn 21251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831

This theorem is referenced by: (None)