Theorem opnrebl2 36720

Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opnrebl2	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnrebl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24916	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1, 3	tgioo 24921	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5	4	mopnss 24571	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	2, 5	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	4	mopni3 24619	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
8	7	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
9	2, 8	mp3an1 1474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
10	6	sselda 3945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rpre 13024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
12	1	bl2ioo 24917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
13	11, 12	sylan2 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
14	13	sseq1d 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
16	15	rexbidva 3193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
18		rpre 13024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
19		ltle 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
20	11, 18, 19	syl2anr 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
21	20	anim1d 622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
22	21	reximdva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
23	17, 22	syl9 78	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
24	10, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
25	9, 24	mpdd 44	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
26	25	expimpd 458	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
27	26	ralrimivv 3212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
28	6, 27	jca 520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
29		ssel2 3940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		1rp 13019	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
32	31	reximi 3109	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
33	32	ralimi 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
34		biidd 265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
35	34	rspcv 3586	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
36	30, 33, 35	mpsyl 69	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
37	14	rexbidva 3193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
38	36, 37	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
39	29, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
40	39	ralimdva 3183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
41	40	imdistani 578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
42	4	elmopn2 24570	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
43	2, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
44	41, 43	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
45	28, 44	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   × cxp 5660  ran crn 5663   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℝ⁺crp 13015  (,)cioo 13371  abscabs 15284  topGenctg 17489  ∞Metcxmet 21475  ballcbl 21477  MetOpencmopn 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-bases 23071

This theorem is referenced by: (None)