Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnrebl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnrebl2 33556
Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
opnrebl2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnrebl2
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 23317 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3 eqid 2825 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
41, 3tgioo 23322 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
54mopnss 22974 . . . 4 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
62, 5mpan 686 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
74mopni3 23022 . . . . . . . 8 (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
87ex 413 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
92, 8mp3an1 1441 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
106sselda 3970 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 rpre 12390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
121bl2ioo 23318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
1311, 12sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
1413sseq1d 4001 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
1514anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
1615rexbidva 3300 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
1716biimpd 230 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
18 rpre 12390 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
19 ltle 10721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦𝑧𝑦))
2011, 18, 19syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 < 𝑦𝑧𝑦))
2120anim1d 610 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2221reximdva 3278 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2317, 22syl9 77 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
2410, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
259, 24mpdd 43 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2625expimpd 454 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
2726ralrimivv 3194 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
286, 27jca 512 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
29 ssel2 3965 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 1rp 12386 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
31 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
3231reximi 3247 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
3332ralimi 3164 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
34 biidd 263 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
3534rspcv 3621 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
3630, 33, 35mpsyl 68 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
3714rexbidva 3300 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
3836, 37syl5ibr 247 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
3929, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
4039ralimdva 3181 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
4140imdistani 569 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
424elmopn2 22973 . . . 4 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
432, 42ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
4441, 43sylibr 235 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
4528, 44impbii 210 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧𝑦 ∧ ((𝑥𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  wss 3939   class class class wbr 5062   × cxp 5551  ran crn 5554  cres 5555  ccom 5557  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  +crp 12382  (,)cioo 12731  abscabs 14586  topGenctg 16704  ∞Metcxmet 20449  ballcbl 20451  MetOpencmopn 20454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-topgen 16710  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator