Theorem opnrebl2 36339

Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an arbitrarily small ball. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opnrebl2	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnrebl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24730	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1, 3	tgioo 24735	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5	4	mopnss 24385	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	2, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	4	mopni3 24433	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
9	2, 8	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
10	6	sselda 3958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rpre 13017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
12	1	bl2ioo 24731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) = ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)))
14	13	sseq1d 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
16	15	rexbidva 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
18		rpre 13017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
19		ltle 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
20	11, 18, 19	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 < 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
21	20	anim1d 611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
22	21	reximdva 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
23	17, 22	syl9 77	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
24	10, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑦 ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))))
25	9, 24	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
26	25	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
27	26	ralrimivv 3185	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
28	6, 27	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))
29		ssel2 3953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		1rp 13012	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
32	31	reximi 3074	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
33	32	ralimi 3073	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
34		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
35	34	rspcv 3597	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
36	30, 33, 35	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)
37	14	rexbidva 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴))
38	36, 37	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
39	29, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
40	39	ralimdva 3152	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
41	40	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
42	4	elmopn2 24384	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴)))
43	2, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑧) ⊆ 𝐴))
44	41, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
45	28, 44	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ran crn 5655   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℝ⁺crp 13008  (,)cioo 13362  abscabs 15253  topGenctg 17451  ∞Metcxmet 21300  ballcbl 21302  MetOpencmopn 21305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884

This theorem is referenced by: (None)