Theorem eluzp1p1 12862

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1p1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Proof of Theorem eluzp1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12607	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		peano2z 12607	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1146	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
5		zre 12567	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 12567	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		1re 11176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		leadd1 11650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	mp3an3 1470	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
10	5, 6, 9	syl2an 605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
11	10	biimp3a 1489	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
12	2, 4, 11	3jca 1140	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
13		eluz2 12840	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		eluz2 12840	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
15	12, 13, 14	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   ≤ cle 11212  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835

This theorem is referenced by:  uzp1  12871  fzp1elp1  13577  seqcl2  14028  seqfveq2  14032  seqf1olem2  14050  seqid2  14056  seqcoll  14472  serf0  15689  efcllem  16088  prmind2  16700  pockthlem  16922  pockthg  16923  prmunb  16931  prmreclem4  16936  dvradcnv  26459  rplogsumlem1  27523  rplogsumlem2  27524  dchrisumlem2  27529  dchrisum0flb  27549  pntlemq  27640  pntlemr  27641  pntlemf  27644  axlowdimlem17  29103  fibp1  34657  subfacp1lem5  35487  poimirlem1  38073  poimirlem3  38075  poimirlem4  38076  poimirlem15  38087  poimirlem16  38088  poimirlem17  38089  poimirlem19  38091  poimirlem20  38092  poimirlem23  38095  fdc  38197  mettrifi  38209  expdiophlem1  43551  trclfvdecomr  44257