Theorem eluzp1p1 12885

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1p1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Proof of Theorem eluzp1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12638	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		peano2z 12638	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
5		zre 12597	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 12597	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		1re 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		leadd1 11710	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
10	5, 6, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
11	10	biimp3a 1471	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
12	2, 4, 11	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
13		eluz2 12863	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		eluz2 12863	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
15	12, 13, 14	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   ≤ cle 11275  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  uzp1  12898  fzp1elp1  13599  seqcl2  14043  seqfveq2  14047  seqf1olem2  14065  seqid2  14071  seqcoll  14487  serf0  15702  efcllem  16098  prmind2  16709  pockthlem  16930  pockthg  16931  prmunb  16939  prmreclem4  16944  dvradcnv  26387  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  dchrisumlem2  27458  dchrisum0flb  27478  pntlemq  27569  pntlemr  27570  pntlemf  27573  axlowdimlem17  28942  fibp1  34438  subfacp1lem5  35211  poimirlem1  37650  poimirlem3  37652  poimirlem4  37653  poimirlem15  37664  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem23  37672  fdc  37774  mettrifi  37786  expdiophlem1  43020  trclfvdecomr  43727