Theorem eluzp1p1 12780

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1p1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Proof of Theorem eluzp1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12533	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		peano2z 12533	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
5		zre 12493	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 12493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		1re 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		leadd1 11606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	mp3an3 1453	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
10	5, 6, 9	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
11	10	biimp3a 1472	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
12	2, 4, 11	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
13		eluz2 12758	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		eluz2 12758	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
15	12, 13, 14	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030   ≤ cle 11168  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753

This theorem is referenced by:  uzp1  12789  fzp1elp1  13494  seqcl2  13944  seqfveq2  13948  seqf1olem2  13966  seqid2  13972  seqcoll  14388  serf0  15605  efcllem  16001  prmind2  16613  pockthlem  16834  pockthg  16835  prmunb  16843  prmreclem4  16848  dvradcnv  26370  rplogsumlem1  27435  rplogsumlem2  27436  dchrisumlem2  27441  dchrisum0flb  27461  pntlemq  27552  pntlemr  27553  pntlemf  27556  axlowdimlem17  29015  fibp1  34551  subfacp1lem5  35372  poimirlem1  37933  poimirlem3  37935  poimirlem4  37936  poimirlem15  37947  poimirlem16  37948  poimirlem17  37949  poimirlem19  37951  poimirlem20  37952  poimirlem23  37955  fdc  38057  mettrifi  38069  expdiophlem1  43452  trclfvdecomr  44158