Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddprmALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddprmALTV 44047
Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
oddprmALTV (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )

Proof of Theorem oddprmALTV
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4700 . 2 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2))
2 prmz 16006 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 necom 3066 . . . . . . 7 (𝑁 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 𝑁)
5 df-ne 3014 . . . . . . 7 (2 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 2 = 𝑁)
64, 5sylbb 222 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 2 → ¬ 2 = 𝑁)
76adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 𝑁)
8 1ne2 11831 . . . . . . 7 1 ≠ 2
98nesymi 3070 . . . . . 6 ¬ 2 = 1
109a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 1)
11 ioran 981 . . . . 5 (¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1) ↔ (¬ 2 = 𝑁 ∧ ¬ 2 = 1))
127, 10, 11sylanbrc 586 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1))
13 2nn 11696 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ≠ 2 → 2 ∈ ℕ)
15 dvdsprime 16018 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
1614, 15sylan2 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
1712, 16mtbird 328 . . 3 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
18 isodd3 44012 . . 3 (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
193, 17, 18sylanbrc 586 . 2 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ Odd )
201, 19sylbi 220 1 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cdif 3915  {csn 4548   class class class wbr 5047  1c1 10523  cn 11623  2c2 11678  cz 11967  cdvds 15596  cprime 16002   Odd codd 43985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-dvds 15597  df-prm 16003  df-odd 43987
This theorem is referenced by:  evenprm2  44074  odd2prm2  44078  even3prm2  44079  bgoldbtbndlem2  44166  bgoldbtbndlem3  44167  bgoldbtbndlem4  44168  bgoldbtbnd  44169
  Copyright terms: Public domain W3C validator