Theorem oddprmALTV 43872

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmALTV	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )

Proof of Theorem oddprmALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4719	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2))
2		prmz 16019	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		necom 3069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 𝑁)
5		df-ne 3017	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 2 = 𝑁)
6	4, 5	sylbb 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ¬ 2 = 𝑁)
7	6	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 𝑁)
8		1ne2 11846	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	nesymi 3073	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 1)
11		ioran 980	. . . . 5 ⊢ (¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1) ↔ (¬ 2 = 𝑁 ∧ ¬ 2 = 1))
12	7, 10, 11	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1))
13		2nn 11711	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → 2 ∈ ℕ)
15		dvdsprime 16031	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
16	14, 15	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
17	12, 16	mtbird 327	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
18		isodd3 43837	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
19	3, 17, 18	sylanbrc 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ Odd )
20	1, 19	sylbi 219	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933  {csn 4567   class class class wbr 5066  1c1 10538  ℕcn 11638  2c2 11693  ℤcz 11982   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015   Odd codd 43810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16016  df-odd 43812

This theorem is referenced by:  evenprm2  43899  odd2prm2  43903  even3prm2  43904  bgoldbtbndlem2  43991  bgoldbtbndlem3  43992  bgoldbtbndlem4  43993  bgoldbtbnd  43994