Theorem oddprmALTV 46653

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmALTV	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )

Proof of Theorem oddprmALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4789	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2))
2		prmz 16616	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		necom 2992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 𝑁)
5		df-ne 2939	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 2 = 𝑁)
6	4, 5	sylbb 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ¬ 2 = 𝑁)
7	6	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 𝑁)
8		1ne2 12424	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	nesymi 2996	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 1)
11		ioran 980	. . . . 5 ⊢ (¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1) ↔ (¬ 2 = 𝑁 ∧ ¬ 2 = 1))
12	7, 10, 11	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1))
13		2nn 12289	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → 2 ∈ ℕ)
15		dvdsprime 16628	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
16	14, 15	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
17	12, 16	mtbird 324	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
18		isodd3 46618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
19	3, 17, 18	sylanbrc 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ Odd )
20	1, 19	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  1c1 11113  ℕcn 12216  2c2 12271  ℤcz 12562   ∥ cdvds 16201  ℙcprime 16612   Odd codd 46591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-prm 16613  df-odd 46593

This theorem is referenced by:  evenprm2  46680  odd2prm2  46684  even3prm2  46685  bgoldbtbndlem2  46772  bgoldbtbndlem3  46773  bgoldbtbndlem4  46774  bgoldbtbnd  46775