Theorem oddprmALTV 47561

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmALTV	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )

Proof of Theorem oddprmALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4811	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2))
2		prmz 16722	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		necom 3000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 𝑁)
5		df-ne 2947	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 2 = 𝑁)
6	4, 5	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ¬ 2 = 𝑁)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 𝑁)
8		1ne2 12501	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	nesymi 3004	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 = 1)
11		ioran 984	. . . . 5 ⊢ (¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1) ↔ (¬ 2 = 𝑁 ∧ ¬ 2 = 1))
12	7, 10, 11	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1))
13		2nn 12366	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → 2 ∈ ℕ)
15		dvdsprime 16734	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
16	14, 15	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 = 1)))
17	12, 16	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
18		isodd3 47526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
19	3, 17, 18	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 2) → 𝑁 ∈ Odd )
20	1, 19	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ Odd )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  1c1 11185  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718   Odd codd 47499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-odd 47501

This theorem is referenced by:  evenprm2  47588  odd2prm2  47592  even3prm2  47593  bgoldbtbndlem2  47680  bgoldbtbndlem3  47681  bgoldbtbndlem4  47682  bgoldbtbnd  47683