Theorem fib3 34398

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib3	⊢ (Fibci‘3) = 2

Proof of Theorem fib3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12412	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
2	1	fveq2i 6914	. 2 ⊢ (Fibci‘(2 + 1)) = (Fibci‘3)
3		2nn 12343	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		fibp1 34396	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ → (Fibci‘(2 + 1)) = ((Fibci‘(2 − 1)) + (Fibci‘2)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(2 + 1)) = ((Fibci‘(2 − 1)) + (Fibci‘2))
6		2m1e1 12396	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
7	6	fveq2i 6914	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(2 − 1)) = (Fibci‘1)
8		fib1 34395	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘1) = 1
9	7, 8	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(2 − 1)) = 1
10		fib2 34397	. . . 4 ⊢ (Fibci‘2) = 1
11	9, 10	oveq12i 7447	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(2 − 1)) + (Fibci‘2)) = (1 + 1)
12		1p1e2 12395	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
13	5, 11, 12	3eqtri 2768	. 2 ⊢ (Fibci‘(2 + 1)) = 2
14	2, 13	eqtr3i 2766	1 ⊢ (Fibci‘3) = 2

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  1c1 11160   + caddc 11162   − cmin 11496  ℕcn 12270  2c2 12325  3c3 12326  Fibcicfib 34391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-er 8750  df-map 8873  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-n0 12531  df-xnn0 12604  df-z 12618  df-uz 12883  df-rp 13039  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-seq 14046  df-hash 14373  df-word 14556  df-lsw 14604  df-concat 14612  df-s1 14637  df-substr 14682  df-pfx 14712  df-s2 14890  df-sseq 34379  df-fib 34392

This theorem is referenced by:  fib4  34399  fib5  34400