Theorem fib2 34380

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 2. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib2	⊢ (Fibci‘2) = 1

Proof of Theorem fib2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 12363	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
2	1	fveq2i 6878	. 2 ⊢ (Fibci‘(1 + 1)) = (Fibci‘2)
3		1nn 12249	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		fibp1 34379	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → (Fibci‘(1 + 1)) = ((Fibci‘(1 − 1)) + (Fibci‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(1 + 1)) = ((Fibci‘(1 − 1)) + (Fibci‘1))
6		1m1e0 12310	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
7	6	fveq2i 6878	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(1 − 1)) = (Fibci‘0)
8		fib0 34377	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘0) = 0
9	7, 8	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(1 − 1)) = 0
10		fib1 34378	. . . 4 ⊢ (Fibci‘1) = 1
11	9, 10	oveq12i 7415	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(1 − 1)) + (Fibci‘1)) = (0 + 1)
12		0p1e1 12360	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
13	5, 11, 12	3eqtri 2762	. 2 ⊢ (Fibci‘(1 + 1)) = 1
14	2, 13	eqtr3i 2760	1 ⊢ (Fibci‘2) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11464  ℕcn 12238  2c2 12293  Fibcicfib 34374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-word 14530  df-lsw 14579  df-concat 14587  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-s2 14865  df-sseq 34362  df-fib 34375

This theorem is referenced by:  fib3  34381  fib4  34382