Theorem fib2 31900

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 2. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib2	⊢ (Fibci‘2) = 1

Proof of Theorem fib2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 11812	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
2	1	fveq2i 6666	. 2 ⊢ (Fibci‘(1 + 1)) = (Fibci‘2)
3		1nn 11698	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		fibp1 31899	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → (Fibci‘(1 + 1)) = ((Fibci‘(1 − 1)) + (Fibci‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(1 + 1)) = ((Fibci‘(1 − 1)) + (Fibci‘1))
6		1m1e0 11759	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
7	6	fveq2i 6666	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(1 − 1)) = (Fibci‘0)
8		fib0 31897	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘0) = 0
9	7, 8	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(1 − 1)) = 0
10		fib1 31898	. . . 4 ⊢ (Fibci‘1) = 1
11	9, 10	oveq12i 7168	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(1 − 1)) + (Fibci‘1)) = (0 + 1)
12		0p1e1 11809	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
13	5, 11, 12	3eqtri 2785	. 2 ⊢ (Fibci‘(1 + 1)) = 1
14	2, 13	eqtr3i 2783	1 ⊢ (Fibci‘2) = 1

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   − cmin 10921  ℕcn 11687  2c2 11742  Fibcicfib 31894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-word 13927  df-lsw 13975  df-concat 13983  df-s1 14010  df-substr 14063  df-pfx 14093  df-s2 14270  df-sseq 31882  df-fib 31895

This theorem is referenced by:  fib3  31901  fib4  31902