Theorem fib1 34402

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib1	⊢ (Fibci‘1) = 1

Proof of Theorem fib1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 34399	. . 3 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6907	. 2 ⊢ (Fibci‘1) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1)
3		nn0ex 12532	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	s2cld 14910	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11		fiblem 34400	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13		2nn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12437	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		elfzo0 13740	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	7, 13, 14, 15	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
17		s2len 14928	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18	17	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
19	16, 18	eleqtrri 2840	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
21	4, 9, 10, 12, 20	sseqfv1 34391	. . 3 ⊢ (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1))
22	21	mptru 1547	. 2 ⊢ ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1)
23		s2fv1 14927	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘1) = 1)
24	7, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“01”⟩‘1) = 1
25	2, 22, 24	3eqtri 2769	1 ⊢ (Fibci‘1) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤ_≥cuz 12878  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs2 14880  seq_strcsseq 34385  Fibcicfib 34398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-sseq 34386  df-fib 34399

This theorem is referenced by:  fib2  34404  fib3  34405