Theorem fib1 34397

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib1	⊢ (Fibci‘1) = 1

Proof of Theorem fib1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 34394	. . 3 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6861	. 2 ⊢ (Fibci‘1) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1)
3		nn0ex 12454	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5		0nn0 12463	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	s2cld 14843	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11		fiblem 34395	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13		2nn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12358	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		elfzo0 13667	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	7, 13, 14, 15	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
17		s2len 14861	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18	17	oveq2i 7400	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
19	16, 18	eleqtrri 2828	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
21	4, 9, 10, 12, 20	sseqfv1 34386	. . 3 ⊢ (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1))
22	21	mptru 1547	. 2 ⊢ ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1)
23		s2fv1 14860	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘1) = 1)
24	7, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“01”⟩‘1) = 1
25	2, 22, 24	3eqtri 2757	1 ⊢ (Fibci‘1) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3915   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5639   “ cima 5643  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   < clt 11214   − cmin 11411  ℕcn 12187  2c2 12242  ℕ₀cn0 12448  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621  ♯chash 14301  Word cword 14484  ⟨“cs2 14813  seq_strcsseq 34380  Fibcicfib 34393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-word 14485  df-lsw 14534  df-concat 14542  df-s1 14567  df-s2 14820  df-sseq 34381  df-fib 34394

This theorem is referenced by:  fib2  34399  fib3  34400