Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fib1 34382
Description: Value of the Fibonacci sequence at index 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib1 (Fibci‘1) = 1

Proof of Theorem fib1
StepHypRef Expression
1 df-fib 34379 . . 3 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6908 . 2 (Fibci‘1) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1)
3 nn0ex 12530 . . . . 5 0 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
96, 8s2cld 14907 . . . 4 (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10 eqid 2735 . . . 4 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11 fiblem 34380 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13 2nn 12337 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
14 1lt2 12435 . . . . . . 7 1 < 2
15 elfzo0 13737 . . . . . . 7 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
167, 13, 14, 15mpbir3an 1340 . . . . . 6 1 ∈ (0..^2)
17 s2len 14925 . . . . . . 7 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
1817oveq2i 7442 . . . . . 6 (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
1916, 18eleqtrri 2838 . . . . 5 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
214, 9, 10, 12, 20sseqfv1 34371 . . 3 (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1))
2221mptru 1544 . 2 ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1)
23 s2fv1 14924 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘1) = 1)
247, 23ax-mp 5 . 2 (⟨“01”⟩‘1) = 1
252, 22, 243eqtri 2767 1 (Fibci‘1) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cuz 12876  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs2 14877  seqstrcsseq 34365  Fibcicfib 34378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-sseq 34366  df-fib 34379
This theorem is referenced by:  fib2  34384  fib3  34385
  Copyright terms: Public domain W3C validator