Theorem fib1 33387

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib1	⊢ (Fibci‘1) = 1

Proof of Theorem fib1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 33384	. . 3 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6889	. 2 ⊢ (Fibci‘1) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1)
3		nn0ex 12474	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5		0nn0 12483	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12484	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	s2cld 14818	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11		fiblem 33385	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13		2nn 12281	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12379	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		elfzo0 13669	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	7, 13, 14, 15	mpbir3an 1341	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
17		s2len 14836	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18	17	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
19	16, 18	eleqtrri 2832	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
21	4, 9, 10, 12, 20	sseqfv1 33376	. . 3 ⊢ (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1))
22	21	mptru 1548	. 2 ⊢ ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1)
23		s2fv1 14835	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘1) = 1)
24	7, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“01”⟩‘1) = 1
25	2, 22, 24	3eqtri 2764	1 ⊢ (Fibci‘1) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  ℤ_≥cuz 12818  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460  ⟨“cs2 14788  seq_strcsseq 33370  Fibcicfib 33383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-sseq 33371  df-fib 33384

This theorem is referenced by:  fib2  33389  fib3  33390