MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdmnd 18818
Description: A free monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdmnd (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem frmdmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€))
2 eqidd 2729 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€))
3 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
5 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
63, 4, 5frmdadd 18814 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
73, 4frmdelbas 18812 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
83, 4frmdelbas 18812 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
9 ccatcl 14564 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
107, 8, 9syl2an 594 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
116, 10eqeltrd 2829 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐼)
12113adant1 1127 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐼)
133, 4frmdbas 18811 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
14133ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
1512, 14eleqtrrd 2832 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
16 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1716, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
18 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1918, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
20 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
213, 4frmdelbas 18812 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
23 ccatass 14578 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
2417, 19, 22, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
2516, 18, 10syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
2613adantr 479 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
2725, 26eleqtrrd 2832 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
283, 4, 5frmdadd 18814 . . . . 5 (((π‘₯ ++ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧))
2927, 20, 28syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧))
30 ccatcl 14564 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
3119, 22, 30syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
3231, 26eleqtrrd 2832 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
333, 4, 5frmdadd 18814 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
3416, 32, 33syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
3524, 29, 343eqtr4d 2778 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)))
3616, 18, 6syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
3736oveq1d 7441 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧))
383, 4, 5frmdadd 18814 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
3918, 20, 38syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
4039oveq2d 7442 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)))
4135, 37, 403eqtr4d 2778 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
42 wrd0 14529 . . 3 βˆ… ∈ Word 𝐼
4342, 13eleqtrrid 2836 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€))
443, 4, 5frmdadd 18814 . . . 4 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
4543, 44sylan 578 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
467adantl 480 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
47 ccatlid 14576 . . . 4 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
4846, 47syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
4945, 48eqtrd 2768 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = π‘₯)
503, 4, 5frmdadd 18814 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
5150ancoms 457 . . . 4 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
5243, 51sylan 578 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
53 ccatrid 14577 . . . 4 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
5446, 53syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
5552, 54eqtrd 2768 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = π‘₯)
561, 2, 15, 41, 43, 49, 55ismndd 18723 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4326  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Word cword 14504   ++ cconcat 14560  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Mndcmnd 18701  freeMndcfrmd 18806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-frmd 18808
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18820  frmdgsum  18821  frmdup1  18823  frgp0  19722  frgpadd  19725  frgpmhm  19727  mrsubff  35155  mrsubccat  35161  elmrsubrn  35163
  Copyright terms: Public domain W3C validator