MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdmnd 18781
Description: A free monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdmnd (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem frmdmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€))
2 eqidd 2727 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€))
3 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
5 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
63, 4, 5frmdadd 18777 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
73, 4frmdelbas 18775 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
83, 4frmdelbas 18775 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
9 ccatcl 14527 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
107, 8, 9syl2an 595 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
116, 10eqeltrd 2827 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐼)
12113adant1 1127 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐼)
133, 4frmdbas 18774 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
14133ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
1512, 14eleqtrrd 2830 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
16 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1716, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
18 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1918, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
20 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
213, 4frmdelbas 18775 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
23 ccatass 14541 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
2417, 19, 22, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
2516, 18, 10syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
2613adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
2725, 26eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
283, 4, 5frmdadd 18777 . . . . 5 (((π‘₯ ++ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧))
2927, 20, 28syl2anc 583 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧))
30 ccatcl 14527 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
3119, 22, 30syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
3231, 26eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
333, 4, 5frmdadd 18777 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
3416, 32, 33syl2anc 583 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
3524, 29, 343eqtr4d 2776 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)))
3616, 18, 6syl2anc 583 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
3736oveq1d 7419 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧))
383, 4, 5frmdadd 18777 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
3918, 20, 38syl2anc 583 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
4039oveq2d 7420 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)))
4135, 37, 403eqtr4d 2776 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
42 wrd0 14492 . . 3 βˆ… ∈ Word 𝐼
4342, 13eleqtrrid 2834 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€))
443, 4, 5frmdadd 18777 . . . 4 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
4543, 44sylan 579 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
467adantl 481 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
47 ccatlid 14539 . . . 4 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
4846, 47syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
4945, 48eqtrd 2766 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = π‘₯)
503, 4, 5frmdadd 18777 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
5150ancoms 458 . . . 4 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
5243, 51sylan 579 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
53 ccatrid 14540 . . . 4 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
5446, 53syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
5552, 54eqtrd 2766 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = π‘₯)
561, 2, 15, 41, 43, 49, 55ismndd 18686 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Word cword 14467   ++ cconcat 14523  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Mndcmnd 18664  freeMndcfrmd 18769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-frmd 18771
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18783  frmdgsum  18784  frmdup1  18786  frgp0  19677  frgpadd  19680  frgpmhm  19682  mrsubff  35030  mrsubccat  35036  elmrsubrn  35038
  Copyright terms: Public domain W3C validator