MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdmnd 18670
Description: A free monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdmnd (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem frmdmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€))
2 eqidd 2738 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€))
3 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
63, 4, 5frmdadd 18666 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
73, 4frmdelbas 18664 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
83, 4frmdelbas 18664 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
9 ccatcl 14463 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
107, 8, 9syl2an 597 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
116, 10eqeltrd 2838 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐼)
12113adant1 1131 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐼)
133, 4frmdbas 18663 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
14133ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
1512, 14eleqtrrd 2841 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
16 simpr1 1195 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1716, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
18 simpr2 1196 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1918, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
20 simpr3 1197 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
213, 4frmdelbas 18664 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
23 ccatass 14477 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
2417, 19, 22, 23syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
2516, 18, 10syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
2613adantr 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
2725, 26eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
283, 4, 5frmdadd 18666 . . . . 5 (((π‘₯ ++ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧))
2927, 20, 28syl2anc 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦) ++ 𝑧))
30 ccatcl 14463 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
3119, 22, 30syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
3231, 26eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
333, 4, 5frmdadd 18666 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
3416, 32, 33syl2anc 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)) = (π‘₯ ++ (𝑦 ++ 𝑧)))
3524, 29, 343eqtr4d 2787 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)))
3616, 18, 6syl2anc 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
3736oveq1d 7373 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯ ++ 𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧))
383, 4, 5frmdadd 18666 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
3918, 20, 38syl2anc 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
4039oveq2d 7374 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦 ++ 𝑧)))
4135, 37, 403eqtr4d 2787 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
42 wrd0 14428 . . 3 βˆ… ∈ Word 𝐼
4342, 13eleqtrrid 2845 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€))
443, 4, 5frmdadd 18666 . . . 4 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
4543, 44sylan 581 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
467adantl 483 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
47 ccatlid 14475 . . . 4 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
4846, 47syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
4945, 48eqtrd 2777 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = π‘₯)
503, 4, 5frmdadd 18666 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
5150ancoms 460 . . . 4 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
5243, 51sylan 581 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = (π‘₯ ++ βˆ…))
53 ccatrid 14476 . . . 4 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
5446, 53syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ++ βˆ…) = π‘₯)
5552, 54eqtrd 2777 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)βˆ…) = π‘₯)
561, 2, 15, 41, 43, 49, 55ismndd 18579 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14403   ++ cconcat 14459  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Mndcmnd 18557  freeMndcfrmd 18658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-concat 14460  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-frmd 18660
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  18672  frmdgsum  18673  frmdup1  18675  frgp0  19543  frgpadd  19546  frgpmhm  19548  mrsubff  34109  mrsubccat  34115  elmrsubrn  34117
  Copyright terms: Public domain W3C validator