Theorem fthoppf 49552

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Zhi Wang, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fthoppf	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Faith 𝑃))

Proof of Theorem fthoppf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthoppf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷))
2		fthfunc 17847	. . . 4 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
3	2	sseli 3931	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		oppfval2 49525	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
6		fulloppf.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
7		fulloppf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
8		relfth 17849	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Faith 𝐷)
9		1st2ndbr 7998	. . . . 5 ⊢ ((Rel (𝐶 Faith 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Faith 𝐷)(2nd ‘𝐹))
10	8, 1, 9	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Faith 𝐷)(2nd ‘𝐹))
11	6, 7, 10	fthoppc 17863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝑂 Faith 𝑃)tpos (2nd ‘𝐹))
12		df-br 5101	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝐹)(𝑂 Faith 𝑃)tpos (2nd ‘𝐹) ↔ ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝑂 Faith 𝑃))
13	11, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝑂 Faith 𝑃))
14	5, 13	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Faith 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  Rel wrel 5639  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1^st c1st 7943  2^nd c2nd 7944  tpos ctpos 8179  oppCatcoppc 17648   Func cfunc 17792   Faith cfth 17843   oppFunc coppf 49510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-hom 17215  df-cco 17216  df-cat 17605  df-cid 17606  df-oppc 17649  df-func 17796  df-fth 17845  df-oppf 49511

This theorem is referenced by:  ffthoppf  49553