Theorem fthoppf 49662

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Zhi Wang, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fthoppf	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Faith 𝑃))

Proof of Theorem fthoppf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthoppf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷))
2		fthfunc 17868	. . . 4 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
3	2	sseli 3911	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		oppfval2 49635	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
6		fulloppf.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
7		fulloppf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
8		relfth 17870	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Faith 𝐷)
9		1st2ndbr 7985	. . . . 5 ⊢ ((Rel (𝐶 Faith 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Faith 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Faith 𝐷)(2nd ‘𝐹))
10	8, 1, 9	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Faith 𝐷)(2nd ‘𝐹))
11	6, 7, 10	fthoppc 17884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝑂 Faith 𝑃)tpos (2nd ‘𝐹))
12		df-br 5074	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝐹)(𝑂 Faith 𝑃)tpos (2nd ‘𝐹) ↔ ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝑂 Faith 𝑃))
13	11, 12	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝑂 Faith 𝑃))
14	5, 13	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Faith 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4562   class class class wbr 5073  Rel wrel 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1^st c1st 7930  2^nd c2nd 7931  tpos ctpos 8166  oppCatcoppc 17669   Func cfunc 17813   Faith cfth 17864   oppFunc coppf 49620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-hom 17236  df-cco 17237  df-cat 17626  df-cid 17627  df-oppc 17670  df-func 17817  df-fth 17866  df-oppf 49621

This theorem is referenced by:  ffthoppf  49663