Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthoppc 17193
 Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fthoppc (𝜑𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3 fthoppc.f . . . 4 (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4 fthfunc 17177 . . . . 5 (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
54ssbri 5097 . . . 4 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 17145 . 2 (𝜑𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 eqid 2824 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10 eqid 2824 . . . . . 6 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
113adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 17187 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
15 df-f1 6348 . . . . . 6 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) ∧ Fun (𝑦𝐺𝑥)))
1615simprbi 500 . . . . 5 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) → Fun (𝑦𝐺𝑥))
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun (𝑦𝐺𝑥))
18 ovtpos 7903 . . . . . 6 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
1918cnveqi 5732 . . . . 5 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
2019funeqi 6364 . . . 4 (Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun (𝑦𝐺𝑥))
2117, 20sylibr 237 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦))
2221ralrimivva 3186 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦))
231, 8oppcbas 16988 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
2423isfth 17184 . 2 (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦)))
257, 22, 24sylanbrc 586 1 (𝜑𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   class class class wbr 5052  ◡ccnv 5541  Fun wfun 6337  ⟶wf 6339  –1-1→wf1 6340  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  tpos ctpos 7887  Basecbs 16483  Hom chom 16576  oppCatcoppc 16981   Func cfunc 17124   Faith cfth 17173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-hom 16589  df-cco 16590  df-cat 16939  df-cid 16940  df-oppc 16982  df-func 17128  df-fth 17175 This theorem is referenced by:  ffthoppc  17194  fthepi  17198
 Copyright terms: Public domain W3C validator