Theorem fthoppc 18080

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fthoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4		fthfunc 18064	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5150	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 18030	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
11	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 18074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		df-f1 6536	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ∧ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥)))
16	15	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
18		ovtpos 8242	. . . . . 6 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
19	18	cnveqi 5852	. . . . 5 ⊢ ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) = ◡(𝑦𝐺𝑥)
20	19	funeqi 6552	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
21	17, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
22	21	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
23	1, 8	oppcbas 17872	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
24	23	isfth 18071	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦)))
25	7, 22, 24	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  tpos ctpos 8226  Basecbs 17367  Hom chom 17419  oppCatcoppc 17865   Func cfunc 18009   Faith cfth 18060

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-oppc 17866  df-func 18013  df-fth 18062

This theorem is used by:  ffthoppc  18081  fthepi  18085  fthoppf  50216