MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthoppc 17882
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCatβ€˜π·)
fthoppc.f (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fthoppc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCatβ€˜π·)
3 fthoppc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
4 fthfunc 17866 . . . . 5 (𝐢 Faith 𝐷) βŠ† (𝐢 Func 𝐷)
54ssbri 5186 . . . 4 (𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺 β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 17831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
113adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
12 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
13 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 17876 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)))
15 df-f1 6541 . . . . . 6 ((𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)⟢((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯)))
1615simprbi 496 . . . . 5 ((𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯))
1714, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯))
18 ovtpos 8224 . . . . . 6 (π‘₯tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺π‘₯)
1918cnveqi 5867 . . . . 5 β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦) = β—‘(𝑦𝐺π‘₯)
2019funeqi 6562 . . . 4 (Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯))
2117, 20sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦))
2221ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦))
231, 8oppcbas 17669 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜π‘‚)
2423isfth 17873 . 2 (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦)))
257, 22, 24sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  tpos ctpos 8208  Basecbs 17150  Hom chom 17214  oppCatcoppc 17661   Func cfunc 17810   Faith cfth 17862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-hom 17227  df-cco 17228  df-cat 17618  df-cid 17619  df-oppc 17662  df-func 17814  df-fth 17864
This theorem is referenced by:  ffthoppc  17883  fthepi  17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator