Theorem fthoppc 17945

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fthoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4		fthfunc 17929	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5198	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 17894	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
11	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 17939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		df-f1 6559	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ∧ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥)))
16	15	simprbi 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
18		ovtpos 8256	. . . . . 6 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
19	18	cnveqi 5881	. . . . 5 ⊢ ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) = ◡(𝑦𝐺𝑥)
20	19	funeqi 6580	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
21	17, 20	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
22	21	ralrimivva 3191	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
23	1, 8	oppcbas 17732	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
24	23	isfth 17936	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦)))
25	7, 22, 24	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   class class class wbr 5153  ^◡ccnv 5681  Fun wfun 6548  ⟶wf 6550  –1-1→wf1 6551  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  tpos ctpos 8240  Basecbs 17213  Hom chom 17277  oppCatcoppc 17724   Func cfunc 17873   Faith cfth 17925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-hom 17290  df-cco 17291  df-cat 17681  df-cid 17682  df-oppc 17725  df-func 17877  df-fth 17927

This theorem is referenced by:  ffthoppc  17946  fthepi  17950