Theorem fthoppc 16936

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fthoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4		fthfunc 16920	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 4919	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 16888	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
11	3	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12		simprr 791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 16930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		df-f1 6129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ∧ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥)))
16	15	simprbi 492	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
18		ovtpos 7633	. . . . . 6 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
19	18	cnveqi 5530	. . . . 5 ⊢ ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) = ◡(𝑦𝐺𝑥)
20	19	funeqi 6145	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
21	17, 20	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
22	21	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
23	1, 8	oppcbas 16731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
24	23	isfth 16927	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦)))
25	7, 22, 24	sylanbrc 580	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118   class class class wbr 4874  ^◡ccnv 5342  Fun wfun 6118  ⟶wf 6120  –1-1→wf1 6121  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  tpos ctpos 7617  Basecbs 16223  Hom chom 16317  oppCatcoppc 16724   Func cfunc 16867   Faith cfth 16916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-hom 16330  df-cco 16331  df-cat 16682  df-cid 16683  df-oppc 16725  df-func 16871  df-fth 16918

This theorem is referenced by:  ffthoppc  16937  fthepi  16941