Theorem fthoppc 17870

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fthoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4		fthfunc 17854	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5192	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 17821	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
11	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 17864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		df-f1 6545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ∧ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥)))
16	15	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
18		ovtpos 8222	. . . . . 6 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
19	18	cnveqi 5872	. . . . 5 ⊢ ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) = ◡(𝑦𝐺𝑥)
20	19	funeqi 6566	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
21	17, 20	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
22	21	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
23	1, 8	oppcbas 17659	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
24	23	isfth 17861	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦)))
25	7, 22, 24	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5674  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  tpos ctpos 8206  Basecbs 17140  Hom chom 17204  oppCatcoppc 17651   Func cfunc 17800   Faith cfth 17850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-hom 17217  df-cco 17218  df-cat 17608  df-cid 17609  df-oppc 17652  df-func 17804  df-fth 17852

This theorem is referenced by:  ffthoppc  17871  fthepi  17875