Theorem fthoppc 17977

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fthoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4		fthfunc 17961	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5193	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 17926	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
11	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 17971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		df-f1 6568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) ∧ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥)))
16	15	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
18		ovtpos 8265	. . . . . 6 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
19	18	cnveqi 5888	. . . . 5 ⊢ ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) = ◡(𝑦𝐺𝑥)
20	19	funeqi 6589	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun ◡(𝑦𝐺𝑥))
21	17, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
22	21	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦))
23	1, 8	oppcbas 17764	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
24	23	isfth 17968	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥tpos 𝐺𝑦)))
25	7, 22, 24	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  –1-1→wf1 6560  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8249  Basecbs 17245  Hom chom 17309  oppCatcoppc 17756   Func cfunc 17905   Faith cfth 17957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17713  df-cid 17714  df-oppc 17757  df-func 17909  df-fth 17959

This theorem is referenced by:  ffthoppc  17978  fthepi  17982