MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthoppc 17815
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCatβ€˜π·)
fthoppc.f (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fthoppc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCatβ€˜π·)
3 fthoppc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
4 fthfunc 17799 . . . . 5 (𝐢 Faith 𝐷) βŠ† (𝐢 Func 𝐷)
54ssbri 5151 . . . 4 (𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺 β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 17766 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
113adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
12 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
13 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 17809 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)))
15 df-f1 6502 . . . . . 6 ((𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)⟢((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯)))
1615simprbi 498 . . . . 5 ((𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯))
1714, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯))
18 ovtpos 8173 . . . . . 6 (π‘₯tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺π‘₯)
1918cnveqi 5831 . . . . 5 β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦) = β—‘(𝑦𝐺π‘₯)
2019funeqi 6523 . . . 4 (Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun β—‘(𝑦𝐺π‘₯))
2117, 20sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦))
2221ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦))
231, 8oppcbas 17604 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜π‘‚)
2423isfth 17806 . 2 (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(π‘₯tpos 𝐺𝑦)))
257, 22, 24sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  tpos ctpos 8157  Basecbs 17088  Hom chom 17149  oppCatcoppc 17596   Func cfunc 17745   Faith cfth 17795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-oppc 17597  df-func 17749  df-fth 17797
This theorem is referenced by:  ffthoppc  17816  fthepi  17820
  Copyright terms: Public domain W3C validator