Theorem fulloppf 50017

Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Zhi Wang, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Full 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fulloppf	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Full 𝑃))

Proof of Theorem fulloppf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Full 𝐷))
2		fullfunc 17991	. . . 4 ⊢ (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
3	2	sseli 3934	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Full 𝐷) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		oppfval2 49991	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
6		fulloppf.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
7		fulloppf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
8		relfull 17993	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Full 𝐷)
9		1st2ndbr 8045	. . . . 5 ⊢ ((Rel (𝐶 Full 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Full 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Full 𝐷)(2nd ‘𝐹))
10	8, 1, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Full 𝐷)(2nd ‘𝐹))
11	6, 7, 10	fulloppc 18007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝑂 Full 𝑃)tpos (2nd ‘𝐹))
12		df-br 5112	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝐹)(𝑂 Full 𝑃)tpos (2nd ‘𝐹) ↔ ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝑂 Full 𝑃))
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝑂 Full 𝑃))
14	5, 13	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Full 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  Rel wrel 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991  tpos ctpos 8227  oppCatcoppc 17793   Func cfunc 17937   Full cful 17987   oppFunc coppf 49976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-hom 17360  df-cco 17361  df-cat 17750  df-cid 17751  df-oppc 17794  df-func 17941  df-full 17989  df-oppf 49977

This theorem is used by:  ffthoppf  50019