Theorem fulloppc 17939

Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fulloppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fulloppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
4		fullfunc 17923	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5197	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 17889	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fullfo 17929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		forn 6817	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
17		ovtpos 8255	. . . . 5 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
18	17	rneqi 5942	. . . 4 ⊢ ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺𝑥)
19	9, 2	oppchom 17724	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥))
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3190	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
22	1, 8	oppcbas 17727	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
23		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑃) = (Hom ‘𝑃)
24	22, 23	isfull 17927	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦))))
25	7, 21, 24	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   class class class wbr 5152  ran crn 5682  –onto→wfo 6551  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  tpos ctpos 8239  Basecbs 17208  Hom chom 17272  oppCatcoppc 17719   Func cfunc 17868   Full cful 17919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8856  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-hom 17285  df-cco 17286  df-cat 17676  df-cid 17677  df-oppc 17720  df-func 17872  df-full 17921

This theorem is referenced by:  ffthoppc  17941