Theorem fulloppc 17628

Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fulloppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fulloppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
4		fullfunc 17612	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5124	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 17580	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fullfo 17618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		forn 6688	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
17		ovtpos 8042	. . . . 5 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
18	17	rneqi 5844	. . . 4 ⊢ ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺𝑥)
19	9, 2	oppchom 17415	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥))
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3117	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
22	1, 8	oppcbas 17418	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
23		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑃) = (Hom ‘𝑃)
24	22, 23	isfull 17616	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦))))
25	7, 21, 24	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066   class class class wbr 5079  ran crn 5590  –onto→wfo 6429  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  tpos ctpos 8026  Basecbs 16902  Hom chom 16963  oppCatcoppc 17410   Func cfunc 17559   Full cful 17608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-tpos 8027  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-map 8592  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-hom 16976  df-cco 16977  df-cat 17367  df-cid 17368  df-oppc 17411  df-func 17563  df-full 17610

This theorem is referenced by:  ffthoppc  17630