MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fulloppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fulloppc 17920
Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCatβ€˜π·)
fulloppc.f (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fulloppc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCatβ€˜π·)
3 fulloppc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺)
4 fullfunc 17904 . . . . 5 (𝐢 Full 𝐷) βŠ† (𝐢 Func 𝐷)
54ssbri 5197 . . . 4 (𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺 β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 17870 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
113adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺)
12 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
13 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
148, 9, 10, 11, 12, 13fullfo 17910 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)))
15 forn 6819 . . . . 5 ((𝑦𝐺π‘₯):(𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ran (𝑦𝐺π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ran (𝑦𝐺π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯)))
17 ovtpos 8255 . . . . 5 (π‘₯tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺π‘₯)
1817rneqi 5943 . . . 4 ran (π‘₯tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺π‘₯)
199, 2oppchom 17705 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘₯))
2016, 18, 193eqtr4g 2793 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ran (π‘₯tpos 𝐺𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘¦)))
2120ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)ran (π‘₯tpos 𝐺𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘¦)))
221, 8oppcbas 17708 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜π‘‚)
23 eqid 2728 . . 3 (Hom β€˜π‘ƒ) = (Hom β€˜π‘ƒ)
2422, 23isfull 17908 . 2 (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)ran (π‘₯tpos 𝐺𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘¦))))
257, 21, 24sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5152  ran crn 5683  β€“ontoβ†’wfo 6551  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  tpos ctpos 8239  Basecbs 17189  Hom chom 17253  oppCatcoppc 17700   Func cfunc 17849   Full cful 17900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-hom 17266  df-cco 17267  df-cat 17657  df-cid 17658  df-oppc 17701  df-func 17853  df-full 17902
This theorem is referenced by:  ffthoppc  17922
  Copyright terms: Public domain W3C validator