Theorem fulloppc 18099

Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fulloppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fulloppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
4		fullfunc 18083	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5149	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 18050	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fullfo 18089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		forn 6799	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
17		ovtpos 8258	. . . . 5 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
18	17	rneqi 5918	. . . 4 ⊢ ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺𝑥)
19	9, 2	oppchom 17889	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥))
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
22	1, 8	oppcbas 17892	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
23		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑃) = (Hom ‘𝑃)
24	22, 23	isfull 18087	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦))))
25	7, 21, 24	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ran crn 5651  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  tpos ctpos 8242  Basecbs 17387  Hom chom 17439  oppCatcoppc 17885   Func cfunc 18029   Full cful 18079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-oppc 17886  df-func 18033  df-full 18081

This theorem is used by:  ffthoppc  18101  fulloppf  50271