MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fulloppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fulloppc 17628
Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppc.f (𝜑𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fulloppc (𝜑𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3 fulloppc.f . . . 4 (𝜑𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
4 fullfunc 17612 . . . . 5 (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
54ssbri 5124 . . . 4 (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 17580 . 2 (𝜑𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2740 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 eqid 2740 . . . . . 6 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10 eqid 2740 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
113adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
148, 9, 10, 11, 12, 13fullfo 17618 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
15 forn 6688 . . . . 5 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
17 ovtpos 8042 . . . . 5 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
1817rneqi 5844 . . . 4 ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺𝑥)
199, 2oppchom 17415 . . . 4 ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥))
2016, 18, 193eqtr4g 2805 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦)))
2120ralrimivva 3117 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦)))
221, 8oppcbas 17418 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
23 eqid 2740 . . 3 (Hom ‘𝑃) = (Hom ‘𝑃)
2422, 23isfull 17616 . 2 (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦))))
257, 21, 24sylanbrc 583 1 (𝜑𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066   class class class wbr 5079  ran crn 5590  ontowfo 6429  cfv 6431  (class class class)co 7269  tpos ctpos 8026  Basecbs 16902  Hom chom 16963  oppCatcoppc 17410   Func cfunc 17559   Full cful 17608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-tpos 8027  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-map 8592  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-hom 16976  df-cco 16977  df-cat 17367  df-cid 17368  df-oppc 17411  df-func 17563  df-full 17610
This theorem is referenced by:  ffthoppc  17630
  Copyright terms: Public domain W3C validator