Theorem fulloppc 17969

Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fulloppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fulloppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
4		fullfunc 17953	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5149	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 17920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fullfo 17959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		forn 6785	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
17		ovtpos 8225	. . . . 5 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
18	17	rneqi 5917	. . . 4 ⊢ ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺𝑥)
19	9, 2	oppchom 17759	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥))
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
22	1, 8	oppcbas 17762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
23		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑃) = (Hom ‘𝑃)
24	22, 23	isfull 17957	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦))))
25	7, 21, 24	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   class class class wbr 5104  ran crn 5652  –onto→wfo 6523  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  tpos ctpos 8209  Basecbs 17257  Hom chom 17309  oppCatcoppc 17755   Func cfunc 17899   Full cful 17949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-oppc 17756  df-func 17903  df-full 17951

This theorem is referenced by:  ffthoppc  17971  fulloppf  49793