Theorem fulloppc 17884

Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fulloppc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		fulloppc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		fulloppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
4		fullfunc 17868	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
5	4	ssbri 5186	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	1, 2, 6	funcoppc 17834	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fullfo 17874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
15		forn 6802	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥)))
17		ovtpos 8227	. . . . 5 ⊢ (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
18	17	rneqi 5930	. . . 4 ⊢ ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺𝑥)
19	9, 2	oppchom 17669	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑥))
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦)))
22	1, 8	oppcbas 17672	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
23		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑃) = (Hom ‘𝑃)
24	22, 23	isfull 17872	. 2 ⊢ (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹‘𝑦))))
25	7, 21, 24	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   class class class wbr 5141  ran crn 5670  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  tpos ctpos 8211  Basecbs 17153  Hom chom 17217  oppCatcoppc 17664   Func cfunc 17813   Full cful 17864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-oppc 17665  df-func 17817  df-full 17866

This theorem is referenced by:  ffthoppc  17886