MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv1 15624
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 15620), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7027 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2 fzo0 12911 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
31, 2syl6eq 2846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
43ineq2d 4111 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5 in0 4267 . . . . . . . . 9 ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
64, 5syl6eq 2846 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
76sumeq1d 14891 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8 sum0 14911 . . . . . . 7 Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
97, 8syl6eq 2846 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11 2cn 11562 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 exp0 13283 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1410, 13syl6eq 2846 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
1514oveq2d 7035 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
169, 15eqeq12d 2809 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
1716imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
1918ineq2d 4111 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
2019sumeq1d 14891 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
2221oveq2d 7035 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
2320, 22eqeq12d 2809 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
2423imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
2625ineq2d 4111 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
2726sumeq1d 14891 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
2928oveq2d 7035 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
3027, 29eqeq12d 2809 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
3130imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32 oveq2 7027 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
3332ineq2d 4111 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
3433sumeq1d 14891 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35 oveq2 7027 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
3635oveq2d 7035 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
3734, 36eqeq12d 2809 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
3837imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39 nn0z 11855 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
40 zmod10 13105 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
4241eqcomd 2800 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43 oveq1 7026 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44 fzonel 12901 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46 disjsn 4556 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
4745, 46sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
4847ineq2d 4111 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49 inindi 4125 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5048, 49, 53eqtr3g 2853 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 nn0uz 12129 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5351, 52syl6eleq 2892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
54 fzosplitsn 12995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5655ineq2d 4111 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57 indi 4172 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5856, 57syl6eq 2846 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59 fzofi 13192 . . . . . . . . . . 11 (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin
60 inss2 4128 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
61 ssfi 8587 . . . . . . . . . . 11 (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
6259, 60, 61mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
64 2nn 11560 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
6766elin2d 4099 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
68 elfzouz 12892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
7069, 52syl6eleqr 2893 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7165, 70nnexpcld 13456 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7271nncnd 11504 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
7350, 58, 63, 72fsumsplit 14930 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
74 bitsinv1lem 15623 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
7539, 74sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
76 eqeq2 2805 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
77 eqeq2 2805 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
7978snssd 4651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
80 sseqin2 4114 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8179, 80sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8281sumeq1d 14891 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
83 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
8584, 83nnexpcld 13456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
8685nncnd 11504 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
87 oveq2 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8887sumsn 14934 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8983, 86, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
9082, 89eqtrd 2830 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
91 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
92 disjsn 4556 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
9391, 92sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
9493sumeq1d 14891 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
9594, 8syl6eq 2846 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
9676, 77, 90, 95ifbothda 4420 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
9796oveq2d 7035 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
9875, 97eqtr4d 2833 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
9973, 98eqeq12d 2809 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
10043, 99syl5ibr 247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
101100expcom 414 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
102101a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
10317, 24, 31, 38, 42, 102nn0ind 11927 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
104103pm2.43i 52 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
105 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
106105, 52syl6eleq 2892 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10764a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
108107, 105nnexpcld 13456 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
109108nnzd 11936 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
110 2z 11864 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
111 uzid 12108 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘2)
113 bernneq3 13442 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
114112, 113mpan 686 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑁))
115 elfzo2 12891 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
116106, 109, 114, 115syl3anbrc 1336 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
117 bitsfzo 15617 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
11839, 105, 117syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
119116, 118mpbid 233 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
120 df-ss 3876 . . . 4 ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
121119, 120sylib 219 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
122121sumeq1d 14891 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
123 nn0re 11756 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
124 2rp 12244 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
125124a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
126125, 39rpexpcld 13458 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127 nn0ge0 11772 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
128 modid 13114 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
129123, 126, 127, 114, 128syl22anc 835 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
130104, 122, 1293eqtr3d 2838 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  cun 3859  cin 3860  wss 3861  c0 4213  ifcif 4383  {csn 4474   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  Fincfn 8360  cc 10384  cr 10385  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   < clt 10524  cle 10525  cn 11488  2c2 11542  0cn0 11747  cz 11831  cuz 12093  +crp 12239  ..^cfzo 12883   mod cmo 13087  cexp 13279  Σcsu 14876  bitscbits 15601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-dvds 15441  df-bits 15604
This theorem is referenced by:  bitsinv2  15625  bitsf1ocnv  15626  eulerpartlemgc  31229  eulerpartlemgs2  31247
  Copyright terms: Public domain W3C validator