Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv1 15785
 Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 15781), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2 fzo0 13060 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
31, 2eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
43ineq2d 4142 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5 in0 4302 . . . . . . . . 9 ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
64, 5eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
76sumeq1d 15054 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8 sum0 15074 . . . . . . 7 Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
97, 8eqtrdi 2852 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11 2cn 11704 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 exp0 13433 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1410, 13eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
1514oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
169, 15eqeq12d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
1716imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
1918ineq2d 4142 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
2019sumeq1d 15054 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
2221oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
2320, 22eqeq12d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
2423imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
2625ineq2d 4142 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
2726sumeq1d 15054 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
2928oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
3027, 29eqeq12d 2817 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
3130imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
3332ineq2d 4142 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
3433sumeq1d 15054 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
3635oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
3734, 36eqeq12d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
3837imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39 nn0z 11997 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
40 zmod10 13254 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
4241eqcomd 2807 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43 oveq1 7146 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44 fzonel 13050 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46 disjsn 4610 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
4745, 46sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
4847ineq2d 4142 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49 inindi 4156 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5048, 49, 53eqtr3g 2859 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5351, 52eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
54 fzosplitsn 13144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5655ineq2d 4142 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57 indi 4203 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5856, 57eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59 fzofi 13341 . . . . . . . . . . 11 (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin
60 inss2 4159 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
61 ssfi 8726 . . . . . . . . . . 11 (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
6259, 60, 61mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
64 2nn 11702 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
66 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
6766elin2d 4129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
68 elfzouz 13041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
7069, 52eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7165, 70nnexpcld 13606 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7271nncnd 11645 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
7350, 58, 63, 72fsumsplit 15093 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
74 bitsinv1lem 15784 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
7539, 74sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
76 eqeq2 2813 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
77 eqeq2 2813 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
78 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
7978snssd 4705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
80 sseqin2 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8179, 80sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8281sumeq1d 15054 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
83 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
8584, 83nnexpcld 13606 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
8685nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
87 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8887sumsn 15097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8983, 86, 88syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
9082, 89eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
91 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
92 disjsn 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
9391, 92sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
9493sumeq1d 15054 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
9594, 8eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
9676, 77, 90, 95ifbothda 4465 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
9796oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
9875, 97eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
9973, 98eqeq12d 2817 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
10043, 99syl5ibr 249 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
101100expcom 417 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
102101a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
10317, 24, 31, 38, 42, 102nn0ind 12069 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
104103pm2.43i 52 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
105 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
106105, 52eleqtrdi 2903 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10764a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
108107, 105nnexpcld 13606 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
109108nnzd 12078 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
110 2z 12006 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
111 uzid 12250 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘2)
113 bernneq3 13592 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
114112, 113mpan 689 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑁))
115 elfzo2 13040 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
116106, 109, 114, 115syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
117 bitsfzo 15778 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
11839, 105, 117syl2anc 587 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
119116, 118mpbid 235 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
120 df-ss 3901 . . . 4 ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
121119, 120sylib 221 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
122121sumeq1d 15054 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
123 nn0re 11898 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
124 2rp 12386 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
125124a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
126125, 39rpexpcld 13608 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127 nn0ge0 11914 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
128 modid 13263 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
129123, 126, 127, 114, 128syl22anc 837 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
130104, 122, 1293eqtr3d 2844 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ℝ+crp 12381  ..^cfzo 13032   mod cmo 13236  ↑cexp 13429  Σcsu 15038  bitscbits 15762 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-bits 15765 This theorem is referenced by:  bitsinv2  15786  bitsf1ocnv  15787  eulerpartlemgc  31734  eulerpartlemgs2  31752
 Copyright terms: Public domain W3C validator