Theorem bitsinv1 16149

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 16145), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2		fzo0 13411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
4	3	ineq2d 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5		in0 4325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
7	6	sumeq1d 15413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8		sum0 15433	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		exp0 13786	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	10, 13	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
15	14	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
16	9, 15	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
17	16	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
19	18	ineq2d 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
20	19	sumeq1d 15413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
22	21	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
23	20, 22	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
24	23	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
26	25	ineq2d 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
27	26	sumeq1d 15413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
29	28	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
30	27, 29	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
31	30	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
33	32	ineq2d 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
34	33	sumeq1d 15413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
36	35	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
37	34, 36	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
38	37	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39		nn0z 12343	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
40		zmod10 13607	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
42	41	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44		fzonel 13401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46		disjsn 4647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
47	45, 46	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
48	47	ineq2d 4146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49		inindi 4160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
50	48, 49, 5	3eqtr3g 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		nn0uz 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53	51, 52	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
54		fzosplitsn 13495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
56	55	ineq2d 4146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57		indi 4207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
58	56, 57	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59		fzofi 13694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin
60		inss2 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
61		ssfi 8956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
62	59, 60, 61	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
64		2nn 12046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
66		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
67	66	elin2d 4133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
68		elfzouz 13391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
70	69, 52	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
71	65, 70	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
72	71	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
73	50, 58, 63, 72	fsumsplit 15453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
74		bitsinv1lem 16148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
75	39, 74	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
76		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
77		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
78		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
79	78	snssd 4742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
80		sseqin2 4149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
81	79, 80	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
82	81	sumeq1d 15413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
83		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
84	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
85	84, 83	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
86	85	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
87		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
88	87	sumsn 15458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
89	83, 86, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
90	82, 89	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
91		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
92		disjsn 4647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
93	91, 92	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
94	93	sumeq1d 15413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
95	94, 8	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
96	76, 77, 90, 95	ifbothda 4497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
97	96	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
98	75, 97	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
99	73, 98	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
100	43, 99	syl5ibr 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
101	100	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
102	101	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
103	17, 24, 31, 38, 42, 102	nn0ind 12415	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
104	103	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
105		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
106	105, 52	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
107	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
108	107, 105	nnexpcld 13960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
109	108	nnzd 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
110		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
111		uzid 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
113		bernneq3 13946	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
114	112, 113	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < (2↑𝑁))
115		elfzo2 13390	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
116	106, 109, 114, 115	syl3anbrc 1342	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
117		bitsfzo 16142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
118	39, 105, 117	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
119	116, 118	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
120		df-ss 3904	. . . 4 ⊢ ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
121	119, 120	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
122	121	sumeq1d 15413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
123		nn0re 12242	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
124		2rp 12735	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
125	124	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
126	125, 39	rpexpcld 13962	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127		nn0ge0 12258	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
128		modid 13616	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
129	123, 126, 127, 114, 128	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
130	104, 122, 129	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ..^cfzo 13382   mod cmo 13589  ↑cexp 13782  Σcsu 15397  bitscbits 16126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-bits 16129

This theorem is referenced by:  bitsinv2  16150  bitsf1ocnv  16151  eulerpartlemgc  32329  eulerpartlemgs2  32347