Theorem gpg3kgrtriexlem5 48673

Description: Lemma 5 for gpg3kgrtriex 48675. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem5	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12294	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		2eluzge1 12880	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		eluzfz2 13534	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
6		3m1e2 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
7	6	oveq2i 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
8	5, 7	eleqtrri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...(3 − 1))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ (1...(3 − 1)))
10		fzm1ndvds 16339	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1...(3 − 1))) → ¬ 3 ∥ 2)
11	2, 9, 10	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 3 ∥ 2)
12		3z 12601	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
14		2z 12600	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
16		nnz 12586	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		nnne0 12244	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
18		dvdsmulcr 16302	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
19	13, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
20	11, 19	mtbird 327	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
21		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
22	21	breq1i 5106	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
23	20, 22	sylnibr 331	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ∥ (2 · 𝐾))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
25	2, 24	nnmulcld 12263	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
26	21, 25	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
27		2nn 12288	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
29	28, 24	nnmulcld 12263	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12591	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
31		dvdsval3 16273	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
33		nncn 12215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	2timesd 12461	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
35	34	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
36	35	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0))
37		summodnegmod 16303	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
38	16, 16, 26, 37	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
39	32, 36, 38	3bitrd 307	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
40	23, 39	mtbid 326	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
41	40	neqned 2963	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  -cneg 11412  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509   mod cmo 13876   ∥ cdvds 16269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fl 13799  df-mod 13877  df-dvds 16270

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48675