Theorem gpg3kgrtriexlem5 48329

Description: Lemma 5 for gpg3kgrtriex 48331. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem5	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12224	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		2eluzge1 12795	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		eluzfz2 13448	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
6		3m1e2 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
7	6	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
8	5, 7	eleqtrri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...(3 − 1))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ (1...(3 − 1)))
10		fzm1ndvds 16249	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1...(3 − 1))) → ¬ 3 ∥ 2)
11	2, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 3 ∥ 2)
12		3z 12524	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
14		2z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
16		nnz 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		nnne0 12179	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
18		dvdsmulcr 16212	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
19	13, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
20	11, 19	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
21		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
22	21	breq1i 5105	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
23	20, 22	sylnibr 329	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ∥ (2 · 𝐾))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
25	2, 24	nnmulcld 12198	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
26	21, 25	eqeltrid 2840	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
27		2nn 12218	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
29	28, 24	nnmulcld 12198	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12514	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
31		dvdsval3 16183	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
33		nncn 12153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	2timesd 12384	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
35	34	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
36	35	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0))
37		summodnegmod 16213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
38	16, 16, 26, 37	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
39	32, 36, 38	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
40	23, 39	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
41	40	neqned 2939	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423   mod cmo 13789   ∥ cdvds 16179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fl 13712  df-mod 13790  df-dvds 16180

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48331