Theorem gpg3kgrtriexlem5 48575

Description: Lemma 5 for gpg3kgrtriex 48577. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem5	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		2eluzge1 12823	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		eluzfz2 13477	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
6		3m1e2 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
7	6	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
8	5, 7	eleqtrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...(3 − 1))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ (1...(3 − 1)))
10		fzm1ndvds 16282	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1...(3 − 1))) → ¬ 3 ∥ 2)
11	2, 9, 10	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 3 ∥ 2)
12		3z 12551	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
14		2z 12550	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
16		nnz 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		nnne0 12202	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
18		dvdsmulcr 16245	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
19	13, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
20	11, 19	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
21		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
22	21	breq1i 5093	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
23	20, 22	sylnibr 329	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ∥ (2 · 𝐾))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
25	2, 24	nnmulcld 12221	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
26	21, 25	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
27		2nn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
29	28, 24	nnmulcld 12221	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
31		dvdsval3 16216	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
33		nncn 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	2timesd 12411	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
35	34	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
36	35	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0))
37		summodnegmod 16246	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
38	16, 16, 26, 37	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
39	32, 36, 38	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
40	23, 39	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
41	40	neqned 2940	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452   mod cmo 13819   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48577