Theorem gpg3kgrtriexlem5 48031

Description: Lemma 5 for gpg3kgrtriex 48033. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem5	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12276	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		2eluzge1 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		eluzfz2 13506	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
6		3m1e2 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
7	6	oveq2i 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
8	5, 7	eleqtrri 2828	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...(3 − 1))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ (1...(3 − 1)))
10		fzm1ndvds 16298	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1...(3 − 1))) → ¬ 3 ∥ 2)
11	2, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 3 ∥ 2)
12		3z 12582	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
14		2z 12581	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
16		nnz 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		nnne0 12231	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
18		dvdsmulcr 16262	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
19	13, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
20	11, 19	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
21		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
22	21	breq1i 5122	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
23	20, 22	sylnibr 329	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ∥ (2 · 𝐾))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
25	2, 24	nnmulcld 12250	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
26	21, 25	eqeltrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
27		2nn 12270	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
29	28, 24	nnmulcld 12250	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12572	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
31		dvdsval3 16233	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
33		nncn 12205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	2timesd 12441	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
35	34	oveq1d 7409	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
36	35	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0))
37		summodnegmod 16263	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
38	16, 16, 26, 37	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
39	32, 36, 38	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
40	23, 39	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (𝐾 mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
41	40	neqned 2934	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ (-𝐾 mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  0cc0 11086  1c1 11087   + caddc 11089   · cmul 11091   − cmin 11423  -cneg 11424  ℕcn 12197  2c2 12252  3c3 12253  ℤcz 12545  ℤ_≥cuz 12809  ...cfz 13481   mod cmo 13843   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9411  df-inf 9412  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-fz 13482  df-fl 13766  df-mod 13844  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48033