Theorem gpg3kgrtriexlem5 49278

Description: Lemma 5 for gpg3kgrtriex 49280. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem5	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ ( -𝐾 mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12425	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		2eluzge1 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		eluzfz2 13668	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 2 ∈ (1...2))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
6		3m1e2 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
7	6	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
8	5, 7	eleqtrri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...(3 − 1))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ (1...(3 − 1)))
10		fzm1ndvds 16497	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ (1...(3 − 1))) → ¬ 3 ∥ 2)
11	2, 9, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 3 ∥ 2)
12		3z 12732	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
14		2z 12731	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
16		nnz 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		nnne0 12375	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
18		dvdsmulcr 16460	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
19	13, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾) ↔ 3 ∥ 2))
20	11, 19	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
21		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
22	21	breq1i 5109	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (3 · 𝐾) ∥ (2 · 𝐾))
23	20, 22	sylnibr 332	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ∥ (2 · 𝐾))
24		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
25	2, 24	nnmulcld 12394	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
26	21, 25	eqeltrid 2864	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
27		2nn 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
29	28, 24	nnmulcld 12394	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12722	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
31		dvdsval3 16431	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
33		nncn 12346	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	2timesd 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
35	34	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
36	35	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0))
37		summodnegmod 16461	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = ( -𝐾 mod 𝑁)))
38	16, 16, 26, 37	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 mod 𝑁) = ( -𝐾 mod 𝑁)))
39	32, 36, 38	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ (2 · 𝐾) ↔ (𝐾 mod 𝑁) = ( -𝐾 mod 𝑁)))
40	23, 39	mtbid 327	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ¬ (𝐾 mod 𝑁) = ( -𝐾 mod 𝑁))
41	40	neqned 2962	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ≠ ( -𝐾 mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642   mod cmo 14012   ∥ cdvds 16427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fl 13935  df-mod 14013  df-dvds 16428

This theorem is used by:  gpg3kgrtriex  49280