Theorem grpgimcanon 46121

Description: The result of "canonicalizing" a group by discarding unneeded structural components and ensuring that the group operation is a binary operation is isomorphic to the original group. (Contributed by Eric Schmidt, 24-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpgimcanon.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpgimcanon.2	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
grpgimcanon.3	⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grpgimcanon	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻))

Proof of Theorem grpgimcanon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpgimcanon.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	idghm 19471	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
3	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
4	1	fvexi 6919	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		grpgimcanon.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
6	5	grpbase 17486	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐻))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐻))
9		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
10		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11		grpgimcanon.2	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
12	1, 10, 11	plusfval 18849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ⨣ 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ⨣ 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
14	1, 11	grpplusf 19185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
15	4, 4	xpex 7788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
16		fex2 7969	. . . . . . . 8 ⊢ (( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⨣ ∈ V)
17	15, 4, 16	mp3an23 1483	. . . . . . 7 ⊢ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 → ⨣ ∈ V)
18	5	grpplusg 17487	. . . . . . 7 ⊢ ( ⨣ ∈ V → ⨣ = (+g‘𝐻))
19	14, 17, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ⨣ = (+g‘𝐻))
20	19	oveqdr 7468	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ⨣ 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
21	13, 20	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
22	3, 3, 3, 8, 9, 21	ghmpropd 19496	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 GrpHom 𝐺) = (𝐺 GrpHom 𝐻))
23	2, 22	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
24		f1oi 6883	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶1-1onto𝐵
25	1, 7	isgim 19502	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶1-1onto𝐵))
26	23, 24, 25	sylanblrc 602	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4838   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ⟶wf 6551  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ndxcnx 17397  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  +_𝑓cplusf 18839  Grpcgrp 19170   GrpHom cghm 19453   GrpIso cgim 19497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-plusf 18841  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-ghm 19454  df-gim 19499

This theorem is used by:  fingrphf  46229