Theorem hashpss 32783

Description: The size of a proper subset is less than the size of its finite superset. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hashpss	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
3	2	pssssd 4045	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	1, 3	ssexd 5257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		hashxrcl 14259	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		hashxrcl 14259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9		hashss 14311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
10	3, 9	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	11, 12	ssfid 9148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15		hashen 14249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	11, 13, 14, 16	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
18	17	ensymd 8922	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≈ 𝐴)
19		fisseneq 9142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
21	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
22	21	pssned 4046	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
23	22	neneqd 2933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	20, 23	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
25	24	neqned 2935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))
26		xrltlen 13040	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))))
27	26	biimpar 477	. 2 ⊢ ((((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
28	6, 8, 10, 25, 27	syl22anc 838	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476   ≈ cen 8861  Fincfn 8864  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142  ♯chash 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233

This theorem is referenced by:  exsslsb  33601