Theorem hashpss 14561

Description: The size of a proper subset is less than the size of its finite superset. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hashpss	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
3	2	pssssd 4026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	1, 3	ssexd 5286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		hashxrcl 14508	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		hashxrcl 14508	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9		hashss 14560	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
10	3, 9	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
12	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	11, 12	ssfid 9267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15		hashen 14498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	15	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	11, 13, 14, 16	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
18	17	ensymd 9039	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≈ 𝐴)
19		fisseneq 9261	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
21	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
22	21	pssned 4027	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
23	22	neneqd 2960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	20, 23	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
25	24	neqned 2962	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))
26		xrltlen 13282	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))))
27	26	biimpar 483	. 2 ⊢ ((((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
28	6, 8, 10, 25, 27	syl22anc 852	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ⊊ wpss 4012   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543   ≈ cen 8977  Fincfn 8980  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482

This theorem is used by:  exsslsb  34279  hashnnlt  46120