Theorem hashpss 14445

Description: The size of a proper subset is less than the size of its finite superset. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hashpss	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
3	2	pssssd 4062	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	1, 3	ssexd 5295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		hashxrcl 14392	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		hashxrcl 14392	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9		hashss 14444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
10	3, 9	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
12	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	11, 12	ssfid 9228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
14		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15		hashen 14382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	15	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	11, 13, 14, 16	syl21anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
18	17	ensymd 9001	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≈ 𝐴)
19		fisseneq 9222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
21	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
22	21	pssned 4063	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
23	22	neneqd 2969	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	20, 23	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
25	24	neqned 2971	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))
26		xrltlen 13170	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))))
27	26	biimpar 482	. 2 ⊢ ((((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
28	6, 8, 10, 25, 27	syl22anc 851	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537   ≈ cen 8939  Fincfn 8942  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  exsslsb  33931  hashnnlt  45622