Theorem hashpss 32900

Description: The size of a proper subset is less than the size of its finite superset. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hashpss	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
3	2	pssssd 4054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	1, 3	ssexd 5271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		hashxrcl 14292	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		hashxrcl 14292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9		hashss 14344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
10	3, 9	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	11, 12	ssfid 9181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15		hashen 14282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	11, 13, 14, 16	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
18	17	ensymd 8954	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≈ 𝐴)
19		fisseneq 9175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
21	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
22	21	pssned 4055	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
23	22	neneqd 2938	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	20, 23	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
25	24	neqned 2940	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))
26		xrltlen 13072	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))))
27	26	biimpar 477	. 2 ⊢ ((((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
28	6, 8, 10, 25, 27	syl22anc 839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  exsslsb  33774