Theorem hashpss 32757

Description: The size of a proper subset is less than the size of its finite superset. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hashpss	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
3	2	pssssd 4080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	1, 3	ssexd 5304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		hashxrcl 14379	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		hashxrcl 14379	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9		hashss 14431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
10	3, 9	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	11, 12	ssfid 9283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15		hashen 14369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	11, 13, 14, 16	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
18	17	ensymd 9027	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≈ 𝐴)
19		fisseneq 9275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
21	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
22	21	pssned 4081	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
23	22	neneqd 2936	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	20, 23	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
25	24	neqned 2938	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))
26		xrltlen 13170	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))))
27	26	biimpar 477	. 2 ⊢ ((((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
28	6, 8, 10, 25, 27	syl22anc 838	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3463   ⊆ wss 3931   ⊊ wpss 3932   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541   ≈ cen 8964  Fincfn 8967  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277   ≤ cle 11278  ♯chash 14352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-hash 14353

This theorem is referenced by:  exsslsb  33587