Theorem hlhil0 41951

Description: The zero vector for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhil0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhil0	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑈))

Proof of Theorem hlhil0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhil0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐿)
2		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿))
3		hlhil0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hlhil0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhil0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		hlhil0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
8	3, 4, 5, 6, 7	hlhilbase 41932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝑈))
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
10	3, 4, 5, 6, 9	hlhilplus 41933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐿) = (+g‘𝑈))
11	10	oveqdr 7368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐿))) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑈)𝑦))
12	2, 8, 11	grpidpropd 18523	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘𝑈))
13	1, 12	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  +_gcplusg 17148  0_gc0g 17330  HLchlt 39346  LHypclh 39980  DVecHcdvh 41074  HLHilchlh 41928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-struct 17045  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-plusg 17161  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-0g 17332  df-hlhil 41929

This theorem is referenced by:  hlhilphllem  41955