Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilsrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilsrng 39737
Description: The star division ring for the final constructed Hilbert space is a division ring. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhildrng.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
hlhilsrng (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)

Proof of Theorem hlhilsrng
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhillvec.u . 2 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhillvec.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 hlhildrng.r . 2 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2739 . 2 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2739 . 2 (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7 eqid 2739 . 2 (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8 eqid 2739 . 2 (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9 eqid 2739 . 2 (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10 eqid 2739 . 2 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hlhilsrnglem 39736 1 (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  cfv 6400  Basecbs 16790  +gcplusg 16832  .rcmulr 16833  Scalarcsca 16835  *-Ringcsr 19910  HLchlt 37133  LHypclh 37767  DVecHcdvh 38861  HGMapchg 39666  HLHilchlh 39715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10812  ax-resscn 10813  ax-1cn 10814  ax-icn 10815  ax-addcl 10816  ax-addrcl 10817  ax-mulcl 10818  ax-mulrcl 10819  ax-mulcom 10820  ax-addass 10821  ax-mulass 10822  ax-distr 10823  ax-i2m1 10824  ax-1ne0 10825  ax-1rid 10826  ax-rnegex 10827  ax-rrecex 10828  ax-cnre 10829  ax-pre-lttri 10830  ax-pre-lttrn 10831  ax-pre-ltadd 10832  ax-pre-mulgt0 10833  ax-riotaBAD 36736
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-iin 4923  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-of 7490  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-tpos 7991  df-undef 8038  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-er 8414  df-map 8533  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-pnf 10896  df-mnf 10897  df-xr 10898  df-ltxr 10899  df-le 10900  df-sub 11091  df-neg 11092  df-nn 11858  df-2 11920  df-3 11921  df-4 11922  df-5 11923  df-6 11924  df-7 11925  df-8 11926  df-n0 12118  df-z 12204  df-uz 12466  df-fz 13123  df-struct 16730  df-sets 16747  df-slot 16765  df-ndx 16775  df-base 16791  df-ress 16815  df-plusg 16845  df-mulr 16846  df-starv 16847  df-sca 16848  df-vsca 16849  df-ip 16850  df-0g 16976  df-mre 17119  df-mrc 17120  df-acs 17122  df-proset 17832  df-poset 17850  df-plt 17866  df-lub 17882  df-glb 17883  df-join 17884  df-meet 17885  df-p0 17961  df-p1 17962  df-lat 17968  df-clat 18035  df-mgm 18144  df-sgrp 18193  df-mnd 18204  df-mhm 18248  df-submnd 18249  df-grp 18398  df-minusg 18399  df-sbg 18400  df-subg 18570  df-ghm 18650  df-cntz 18741  df-oppg 18768  df-lsm 19055  df-cmn 19202  df-abl 19203  df-mgp 19535  df-ur 19547  df-ring 19594  df-oppr 19671  df-dvdsr 19689  df-unit 19690  df-invr 19720  df-dvr 19731  df-rnghom 19765  df-drng 19799  df-staf 19911  df-srng 19912  df-lmod 19931  df-lss 19999  df-lsp 20039  df-lvec 20170  df-lsatoms 36759  df-lshyp 36760  df-lcv 36802  df-lfl 36841  df-lkr 36869  df-ldual 36907  df-oposet 36959  df-ol 36961  df-oml 36962  df-covers 37049  df-ats 37050  df-atl 37081  df-cvlat 37105  df-hlat 37134  df-llines 37281  df-lplanes 37282  df-lvols 37283  df-lines 37284  df-psubsp 37286  df-pmap 37287  df-padd 37579  df-lhyp 37771  df-laut 37772  df-ldil 37887  df-ltrn 37888  df-trl 37942  df-tgrp 38526  df-tendo 38538  df-edring 38540  df-dveca 38786  df-disoa 38812  df-dvech 38862  df-dib 38922  df-dic 38956  df-dih 39012  df-doch 39131  df-djh 39178  df-lcdual 39370  df-mapd 39408  df-hvmap 39540  df-hdmap1 39576  df-hdmap 39577  df-hgmap 39667  df-hlhil 39716
This theorem is referenced by:  hlhilphllem  39742
  Copyright terms: Public domain W3C validator