Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhillsm 41943
Description: The vector sum operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhil0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhillsm.a = (LSSum‘𝐿)
Assertion
Ref Expression
hlhillsm (𝜑 = (LSSum‘𝑈))

Proof of Theorem hlhillsm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillsm.a . 2 = (LSSum‘𝐿)
2 eqidd 2736 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿))
3 hlhil0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hlhil0.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
5 hlhil0.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 hlhil0.l . . . 4 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
83, 4, 5, 6, 7hlhilbase 41919 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝑈))
9 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝐿) = (+g𝐿)
103, 4, 5, 6, 9hlhilplus 41920 . . . 4 (𝜑 → (+g𝐿) = (+g𝑈))
1110oveqdr 7459 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐿))) → (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g𝑈)𝑦))
126fvexi 6921 . . . 4 𝐿 ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ V)
144fvexi 6921 . . . 4 𝑈 ∈ V
1514a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
162, 8, 11, 13, 15lsmpropd 19710 . 2 (𝜑 → (LSSum‘𝐿) = (LSSum‘𝑈))
171, 16eqtrid 2787 1 (𝜑 = (LSSum‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cfv 6563  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  LSSumclsm 19667  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  HLHilchlh 41915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-lsm 19669  df-hlhil 41916
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41947
  Copyright terms: Public domain W3C validator