Theorem hlhillsm 42587

Description: The vector sum operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhillsm.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhillsm	⊢ (𝜑 → ⊕ = (LSSum‘𝑈))

Proof of Theorem hlhillsm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillsm.a	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐿)
2		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿))
3		hlhil0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hlhil0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhil0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		hlhil0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
8	3, 4, 5, 6, 7	hlhilbase 42567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝑈))
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
10	3, 4, 5, 6, 9	hlhilplus 42568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐿) = (+g‘𝑈))
11	10	oveqdr 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐿))) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑈)𝑦))
12	6	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
14	4	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
16	2, 8, 11, 13, 15	lsmpropd 19735	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSSum‘𝐿) = (LSSum‘𝑈))
17	1, 16	eqtrid 2812	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ = (LSSum‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  LSSumclsm 19692  HLchlt 39981  LHypclh 40615  DVecHcdvh 41709  HLHilchlh 42563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-lsm 19694  df-hlhil 42564

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  42591