Theorem hlhillsm 43216

Description: The vector sum operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhillsm.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhillsm	⊢ (𝜑 → ⊕ = (LSSum‘𝑈))

Proof of Theorem hlhillsm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillsm.a	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐿)
2		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿))
3		hlhil0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hlhil0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhil0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		hlhil0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
8	3, 4, 5, 6, 7	hlhilbase 43196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘𝑈))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
10	3, 4, 5, 6, 9	hlhilplus 43197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐿) = (+g‘𝑈))
11	10	oveqdr 7474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐿))) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑈)𝑦))
12	6	fvexi 6925	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
14	4	fvexi 6925	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
16	2, 8, 11, 13, 15	lsmpropd 19924	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSSum‘𝐿) = (LSSum‘𝑈))
17	1, 16	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ = (LSSum‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  LSSumclsm 19881  HLchlt 40610  LHypclh 41244  DVecHcdvh 42338  HLHilchlh 43192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-lsm 19883  df-hlhil 43193

This theorem is used by:  hlhilhillem  43220