Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilhillem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilhillem 40394
Description: Lemma for hlhil 24791. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilphllem.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilphllem.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
hlhilphllem.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilphllem.a + = (+g𝐿)
hlhilphllem.s · = ( ·𝑠𝐿)
hlhilphllem.r 𝑅 = (Scalar‘𝐿)
hlhilphllem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hlhilphllem.p = (+g𝑅)
hlhilphllem.t × = (.r𝑅)
hlhilphllem.q 𝑄 = (0g𝑅)
hlhilphllem.z 0 = (0g𝐿)
hlhilphllem.i , = (·𝑖𝑈)
hlhilphllem.j 𝐽 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.e 𝐸 = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝐽𝑦)‘𝑥))
hlhilphllem.o 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilphllem.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
hlhilhillem (𝜑𝑈 ∈ Hil)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   + (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilhillem
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilphllem.u . . 3 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilphl.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 hlhilphllem.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
5 hlhilphllem.l . . 3 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 hlhilphllem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝐿)
7 hlhilphllem.a . . 3 + = (+g𝐿)
8 hlhilphllem.s . . 3 · = ( ·𝑠𝐿)
9 hlhilphllem.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝐿)
10 hlhilphllem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 hlhilphllem.p . . 3 = (+g𝑅)
12 hlhilphllem.t . . 3 × = (.r𝑅)
13 hlhilphllem.q . . 3 𝑄 = (0g𝑅)
14 hlhilphllem.z . . 3 0 = (0g𝐿)
15 hlhilphllem.i . . 3 , = (·𝑖𝑈)
16 hlhilphllem.j . . 3 𝐽 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17 hlhilphllem.g . . 3 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18 hlhilphllem.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝐽𝑦)‘𝑥))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hlhilphllem 40393 . 2 (𝜑𝑈 ∈ PreHil)
203adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 eqid 2736 . . . . . . 7 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
22 hlhilphllem.o . . . . . . 7 𝑂 = (ocv‘𝑈)
23 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
24 hlhilphllem.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (ClSubSp‘𝑈)
251, 23, 2, 24, 3hlhillcs 40392 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
2625eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
2726biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
281, 5, 23, 6dihrnss 39708 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥𝑉)
293, 28sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥𝑉)
3027, 29syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝑉)
311, 5, 2, 20, 6, 21, 22, 30hlhilocv 40391 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑂𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3231oveq2d 7369 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥(LSSum‘𝐿)(𝑂𝑥)) = (𝑥(LSSum‘𝐿)(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
33 eqid 2736 . . . . . . . 8 (LSSum‘𝐿) = (LSSum‘𝐿)
341, 5, 2, 3, 33hlhillsm 40390 . . . . . . 7 (𝜑 → (LSSum‘𝐿) = (LSSum‘𝑈))
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (LSSum‘𝐿) = (LSSum‘𝑈))
3635oveqd 7370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥(LSSum‘𝐿)(𝑂𝑥)) = (𝑥(LSSum‘𝑈)(𝑂𝑥)))
37 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐿) = (LSubSp‘𝐿)
383adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
391, 5, 23, 37dihrnlss 39707 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝐿))
403, 39sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝐿))
411, 23, 5, 6, 21, 38, 29dochoccl 39799 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
4241biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
4342ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) → (𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥)))
4443pm2.43d 53 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
4544imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥)
461, 21, 5, 6, 37, 33, 38, 40, 45dochexmid 39898 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥(LSSum‘𝐿)(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑉)
4727, 46syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥(LSSum‘𝐿)(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑉)
4832, 36, 473eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥(LSSum‘𝑈)(𝑂𝑥)) = 𝑉)
491, 2, 3, 5, 6hlhilbase 40366 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑈))
5049adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑉 = (Base‘𝑈))
5148, 50eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥(LSSum‘𝑈)(𝑂𝑥)) = (Base‘𝑈))
5251ralrimiva 3141 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐶 (𝑥(LSSum‘𝑈)(𝑂𝑥)) = (Base‘𝑈))
53 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
54 eqid 2736 . . 3 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5553, 54, 22, 24ishil2 21110 . 2 (𝑈 ∈ Hil ↔ (𝑈 ∈ PreHil ∧ ∀𝑥𝐶 (𝑥(LSSum‘𝑈)(𝑂𝑥)) = (Base‘𝑈)))
5619, 52, 55sylanbrc 583 1 (𝜑𝑈 ∈ Hil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wss 3908  ran crn 5632  cfv 6493  (class class class)co 7353  cmpo 7355  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  .rcmulr 17126  Scalarcsca 17128   ·𝑠 cvsca 17129  ·𝑖cip 17130  0gc0g 17313  LSSumclsm 19407  LSubSpclss 20377  PreHilcphl 21013  ocvcocv 21049  ClSubSpccss 21050  Hilchil 21092  HLchlt 37779  LHypclh 38414  DVecHcdvh 39508  DIsoHcdih 39658  ocHcoch 39777  HDMapchdma 40222  HGMapchg 40313  HLHilchlh 40362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-riotaBAD 37382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-undef 8200  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-0g 17315  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-p1 18307  df-lat 18313  df-clat 18380  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-mhm 18593  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-ghm 18997  df-cntz 19088  df-oppg 19115  df-lsm 19409  df-pj1 19410  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-rnghom 20131  df-drng 20172  df-subrg 20205  df-staf 20289  df-srng 20290  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418  df-lmhm 20468  df-lvec 20549  df-sra 20618  df-rgmod 20619  df-phl 21015  df-ocv 21052  df-css 21053  df-pj 21094  df-hil 21095  df-lsatoms 37405  df-lshyp 37406  df-lcv 37448  df-lfl 37487  df-lkr 37515  df-ldual 37553  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-llines 37928  df-lplanes 37929  df-lvols 37930  df-lines 37931  df-psubsp 37933  df-pmap 37934  df-padd 38226  df-lhyp 38418  df-laut 38419  df-ldil 38534  df-ltrn 38535  df-trl 38589  df-tgrp 39173  df-tendo 39185  df-edring 39187  df-dveca 39433  df-disoa 39459  df-dvech 39509  df-dib 39569  df-dic 39603  df-dih 39659  df-doch 39778  df-djh 39825  df-lcdual 40017  df-mapd 40055  df-hvmap 40187  df-hdmap1 40223  df-hdmap 40224  df-hgmap 40314  df-hlhil 40363
This theorem is referenced by:  hlathil  40395
  Copyright terms: Public domain W3C validator