Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonn0icc 46123
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0icc.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonn0icc.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonn0icc.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
vonn0icc (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐼(π‘˜)
Proof of Theorem vonn0icc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 vonn0icc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3 vonn0icc.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
4 vonn0icc.i . . . 4 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))
5 fveq2 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
6 fveq2 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
75, 6oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
87fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
98cbvprodv 15902 . . . . . . . 8 βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
10 ifeq2 4537 . . . . . . . 8 (βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯)) β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
1312mpoeq3ia 7505 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))) = (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
1413mpteq2i 5257 . . . 4 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
151, 2, 3, 4, 14vonicc 46120 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡))
1614fveq1i 6903 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)
1716oveqi 7439 . . . 4 (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡))
1915, 18eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡))
20 eqid 2728 . . 3 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
21 vonn0icc.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2220, 1, 21, 2, 3hoidmvn0val 46019 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
232ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
243ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2523, 24voliccico 45434 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2625eqcomd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
2726prodeq2dv 15909 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
2819, 22, 273eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4326  ifcif 4532   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ↑m cmap 8853  Xcixp 8924  Fincfn 8972  β„cr 11147  0cc0 11148  [,)cico 13368  [,]cicc 13369  βˆcprod 15891  volcvol 25420  volncvoln 45973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-ac2 10496  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-acn 9975  df-ac 10149  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-prod 15892  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-pws 17440  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-field 20641  df-abv 20711  df-staf 20739  df-srng 20740  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lmhm 20921  df-lvec 21002  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-refld 21551  df-phl 21572  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-cmp 23319  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-tng 24521  df-nrg 24522  df-nlm 24523  df-cncf 24826  df-clm 25018  df-cph 25124  df-tcph 25125  df-rrx 25341  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-salg 45744  df-sumge0 45798  df-mea 45885  df-ome 45925  df-caragen 45927  df-ovoln 45972  df-voln 45974
This theorem is referenced by:  vonsn  46126  vonn0icc2  46127
  Copyright terms: Public domain W3C validator