Theorem vonn0icc 46796

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonn0icc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonn0icc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonn0icc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonn0icc.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
vonn0icc	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0icc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonn0icc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		vonn0icc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3		vonn0icc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
4		vonn0icc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
5		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑎‘𝑗) = (𝑎‘𝑘))
6		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑘))
7	5, 6	oveq12d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)) = ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
8	7	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
9	8	cbvprodv 15821	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
10		ifeq2 4477	. . . . . . . 8 ⊢ (∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥)) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
13	12	mpoeq3ia 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
14	13	mpteq2i 5185	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
15	1, 2, 3, 4, 14	vonicc 46793	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵))
16	14	fveq1i 6823	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋) = ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)
17	16	oveqi 7359	. . . 4 ⊢ (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
19	15, 18	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
20		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
21		vonn0icc.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
22	20, 1, 21, 2, 3	hoidmvn0val 46692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
23	2	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
24	3	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
25	23, 24	voliccico 46107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
26	25	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
27	26	prodeq2dv 15829	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
28	19, 22, 27	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  ifcif 4472   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  Xcixp 8821  Fincfn 8869  ℝcr 11005  0cc0 11006  [,)cico 13247  [,]cicc 13248  ∏cprod 15810  volcvol 25391  volncvoln 46646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-pws 17353  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-field 20647  df-abv 20724  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lmhm 20956  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-refld 21542  df-phl 21563  df-dsmm 21669  df-frlm 21684  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-tng 24499  df-nrg 24500  df-nlm 24501  df-cncf 24798  df-clm 24990  df-cph 25095  df-tcph 25096  df-rrx 25312  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-salg 46417  df-sumge0 46471  df-mea 46558  df-ome 46598  df-caragen 46600  df-ovoln 46645  df-voln 46647

This theorem is referenced by:  vonsn  46799  vonn0icc2  46800