Theorem vonn0icc 44824

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonn0icc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonn0icc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonn0icc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonn0icc.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
vonn0icc	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0icc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonn0icc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		vonn0icc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3		vonn0icc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
4		vonn0icc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
5		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑎‘𝑗) = (𝑎‘𝑘))
6		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑘))
7	5, 6	oveq12d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)) = ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
8	7	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
9	8	cbvprodv 15759	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
10		ifeq2 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥)) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
13	12	mpoeq3ia 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
14	13	mpteq2i 5209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
15	1, 2, 3, 4, 14	vonicc 44821	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵))
16	14	fveq1i 6841	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋) = ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)
17	16	oveqi 7365	. . . 4 ⊢ (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
19	15, 18	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
20		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
21		vonn0icc.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
22	20, 1, 21, 2, 3	hoidmvn0val 44720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
23	2	ffvelcdmda 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
24	3	ffvelcdmda 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
25	23, 24	voliccico 44135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
26	25	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
27	26	prodeq2dv 15766	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
28	19, 22, 27	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2942  ∅c0 4281  ifcif 4485   ↦ cmpt 5187  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354   ↑_m cmap 8724  Xcixp 8794  Fincfn 8842  ℝcr 11009  0cc0 11010  [,)cico 13221  [,]cicc 13222  ∏cprod 15748  volcvol 24779  volncvoln 44674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cc 10330  ax-ac2 10358  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088  ax-addf 11089  ax-mulf 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-dju 9796  df-card 9834  df-acn 9837  df-ac 10011  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-ioo 13223  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-prod 15749  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-pws 17291  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-rnghom 20099  df-drng 20140  df-field 20141  df-subrg 20173  df-abv 20229  df-staf 20257  df-srng 20258  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lmhm 20436  df-lvec 20517  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-refld 20962  df-phl 20983  df-dsmm 21091  df-frlm 21106  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-cmp 22690  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-nm 23890  df-ngp 23891  df-tng 23892  df-nrg 23893  df-nlm 23894  df-cncf 24193  df-clm 24378  df-cph 24484  df-tcph 24485  df-rrx 24701  df-ovol 24780  df-vol 24781  df-salg 44445  df-sumge0 44499  df-mea 44586  df-ome 44626  df-caragen 44628  df-ovoln 44673  df-voln 44675

This theorem is referenced by:  vonsn  44827  vonn0icc2  44828