Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0icc 45015
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0icc.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonn0icc.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonn0icc.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
vonn0icc (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐼(π‘˜)

Proof of Theorem vonn0icc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 vonn0icc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3 vonn0icc.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
4 vonn0icc.i . . . 4 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))
5 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
6 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
75, 6oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
87fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
98cbvprodv 15804 . . . . . . . 8 βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
10 ifeq2 4492 . . . . . . . 8 (βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯)) β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
1312mpoeq3ia 7436 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))) = (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
1413mpteq2i 5211 . . . 4 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
151, 2, 3, 4, 14vonicc 45012 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡))
1614fveq1i 6844 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)
1716oveqi 7371 . . . 4 (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡))
1915, 18eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡))
20 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
21 vonn0icc.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2220, 1, 21, 2, 3hoidmvn0val 44911 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
232ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
243ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2523, 24voliccico 44326 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2625eqcomd 2739 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
2726prodeq2dv 15811 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
2819, 22, 273eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4283  ifcif 4487   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑m cmap 8768  Xcixp 8838  Fincfn 8886  β„cr 11055  0cc0 11056  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  βˆcprod 15793  volcvol 24843  volncvoln 44865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-pws 17336  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-phl 21046  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-tng 23956  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-cncf 24257  df-clm 24442  df-cph 24548  df-tcph 24549  df-rrx 24765  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-salg 44636  df-sumge0 44690  df-mea 44777  df-ome 44817  df-caragen 44819  df-ovoln 44864  df-voln 44866
This theorem is referenced by:  vonsn  45018  vonn0icc2  45019
  Copyright terms: Public domain W3C validator