Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonn0icc 45394
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0icc.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonn0icc.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonn0icc.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
vonn0icc (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐼(π‘˜)
Proof of Theorem vonn0icc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 vonn0icc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3 vonn0icc.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
4 vonn0icc.i . . . 4 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))
5 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
6 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
75, 6oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
87fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
98cbvprodv 15859 . . . . . . . 8 βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
10 ifeq2 4533 . . . . . . . 8 (βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯)) β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
1312mpoeq3ia 7486 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))) = (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
1413mpteq2i 5253 . . . 4 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
151, 2, 3, 4, 14vonicc 45391 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡))
1614fveq1i 6892 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)
1716oveqi 7421 . . . 4 (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘— ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘—)[,)(π‘β€˜π‘—))))))β€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡))
1915, 18eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡))
20 eqid 2732 . . 3 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
21 vonn0icc.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2220, 1, 21, 2, 3hoidmvn0val 45290 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴((π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))β€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
232ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
243ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2523, 24voliccico 44705 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2625eqcomd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
2726prodeq2dv 15866 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
2819, 22, 273eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,](π΅β€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑m cmap 8819  Xcixp 8890  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  βˆcprod 15848  volcvol 24979  volncvoln 45244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-prod 15849  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-pws 17394  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-field 20359  df-abv 20424  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-phl 21178  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-tng 24092  df-nrg 24093  df-nlm 24094  df-cncf 24393  df-clm 24578  df-cph 24684  df-tcph 24685  df-rrx 24901  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-salg 45015  df-sumge0 45069  df-mea 45156  df-ome 45196  df-caragen 45198  df-ovoln 45243  df-voln 45245
This theorem is referenced by:  vonsn  45397  vonn0icc2  45398
  Copyright terms: Public domain W3C validator