Theorem hoidmvval0 46616

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0.p	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
hoidmvval0.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		hoidmvval0.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
3		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
4		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
5	3, 4	breq12d 5132	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
6	5	cbvrexvw 3221	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
7		rexn0 4486	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
8	6, 7	sylbir 235	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		hoidmvval0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
11		hoidmvval0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		hoidmvval0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		hoidmvval0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	10, 12, 13, 15, 17	hoidmvn0val 46613	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
20		hoidmvval0.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
21		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑋 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅)
23		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0
24		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
25		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
26	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
27	14	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
28	16	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
29		volicore 46610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
32	31	3ad2antl1 1186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
33	4, 3	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
34	33	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
35		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑋)
36	14	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
38	16	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
39	38	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
40		volico 46012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
42		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
43	39, 37	lenltd 11381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗)))
44	42, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗))
45	44	iffalsed 4511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0) = 0)
46	41, 45	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
47	24, 25, 26, 32, 34, 35, 46	fprod0 45625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
48	47	3adant1r 1178	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
49	48	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)))
50	22, 23, 49	rexlimd 3249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0))
51	19, 50	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
52		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
53	18, 51, 52	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)
54	1, 9, 53	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ∅c0 4308  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  [,)cico 13364  ∏cprod 15919  volcvol 25416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-prod 15920  df-rest 17436  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-cmp 23325  df-ovol 25417  df-vol 25418

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  46619  hoidmvlelem5  46628