Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hoidmvval0 45238
Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval0.p β„²π‘—πœ‘
hoidmvval0.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvval0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval0.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval0.j (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
Assertion
Ref Expression
hoidmvval0 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐴,𝑗,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,𝑗   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐿(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem hoidmvval0
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (πœ‘ β†’ πœ‘)
2 hoidmvval0.j . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
3 fveq2 6888 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘—))
4 fveq2 6888 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
53, 4breq12d 5160 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) ↔ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)))
65cbvrexvw 3236 . . . 4 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
7 rexn0 4509 . . . 4 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
86, 7sylbir 234 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
92, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
10 hoidmvval0.l . . . 4 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
11 hoidmvval0.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
1211adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
13 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 hoidmvval0.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1514adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
16 hoidmvval0.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1716adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1810, 12, 13, 15, 17hoidmvn0val 45235 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
192adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
20 hoidmvval0.p . . . . . 6 β„²π‘—πœ‘
21 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑗 𝑋 β‰  βˆ…
2220, 21nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)
23 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘—βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0
24 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
25 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—)))
26113ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2714ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2816ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
29 volicore 45232 . . . . . . . . . . 11 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
3130recnd 11238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
32313ad2antl1 1186 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
334, 3oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—)))
3433fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))))
35 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
3614ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
37363adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
3816ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
39383adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
40 volico 44634 . . . . . . . . . 10 (((π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0))
4137, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0))
42 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
4339, 37lenltd 11356 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ ((π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) ↔ Β¬ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)))
4442, 43mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—))
4544iffalsed 4538 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0) = 0)
4641, 45eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = 0)
4724, 25, 26, 32, 34, 35, 46fprod0 44247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
48473adant1r 1178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
49483exp 1120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑗 ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)))
5022, 23, 49rexlimd 3264 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0))
5119, 50mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
52 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 0 = 0)
5318, 51, 523eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
541, 9, 53syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  βˆ…c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  [,)cico 13322  βˆcprod 15845  volcvol 24962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cmp 22873  df-ovol 24963  df-vol 24964
This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  45241  hoidmvlelem5  45250
  Copyright terms: Public domain W3C validator