Theorem hoidmvval0 47361

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0.p	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
hoidmvval0.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥, 𝑗, 𝑘, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		hoidmvval0.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
3		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
4		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
5	3, 4	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
6	5	cbvrexvw 3246	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
7		rexn0 4459	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
8	6, 7	sylbir 238	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
9	2, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		hoidmvval0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
11		hoidmvval0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		hoidmvval0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		hoidmvval0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	10, 12, 13, 15, 17	hoidmvn0val 47358	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
20		hoidmvval0.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
21		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑋 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅)
23		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0
24		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
25		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
26	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
27	14	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
28	16	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
29		volicore 47355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
32	31	3ad2antl1 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
33	4, 3	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
34	33	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
35		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑋)
36	14	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
38	16	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
39	38	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
40		volico 46757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
41	37, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
42		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
43	39, 37	lenltd 11373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗)))
44	42, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗))
45	44	iffalsed 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0) = 0)
46	41, 45	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
47	24, 25, 26, 32, 34, 35, 46	fprod0 46372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
48	47	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
49	48	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)))
50	22, 23, 49	rexlimd 3274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0))
51	19, 50	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
52		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
53	18, 51, 52	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)
54	1, 9, 53	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458  [,)cico 13392  ∏cprod 15982  volcvol 25675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15983  df-rest 17499  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cmp 23596  df-ovol 25676  df-vol 25677

This theorem is used by:  hoidmvval0b  47364  hoidmvlelem5  47373