Theorem hoidmvval0 42876

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0.p	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
hoidmvval0.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		hoidmvval0.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
3		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
4		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
5	3, 4	breq12d 5081	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
6	5	cbvrexvw 3452	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
7		rexn0 4456	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
8	6, 7	sylbir 237	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		hoidmvval0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
11		hoidmvval0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		hoidmvval0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
15	14	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		hoidmvval0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
17	16	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	10, 12, 13, 15, 17	hoidmvn0val 42873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
20		hoidmvval0.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
21		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑋 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅)
23		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0
24		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
25		nfcv 2979	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
26	11	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
27	14	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
28	16	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
29		volicore 42870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
32	31	3ad2antl1 1181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
33	4, 3	oveq12d 7176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
34	33	fveq2d 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
35		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑋)
36	14	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
38	16	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
39	38	3adant3 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
40		volico 42275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
41	37, 39, 40	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
42		simp3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
43	39, 37	lenltd 10788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗)))
44	42, 43	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗))
45	44	iffalsed 4480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0) = 0)
46	41, 45	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
47	24, 25, 26, 32, 34, 35, 46	fprod0 41884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
48	47	3adant1r 1173	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
49	48	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)))
50	22, 23, 49	rexlimd 3319	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0))
51	19, 50	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
52		eqidd 2824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
53	18, 51, 52	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)
54	1, 9, 53	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  ∅c0 4293  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  [,)cico 12743  ∏cprod 15261  volcvol 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-prod 15262  df-rest 16698  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cmp 21997  df-ovol 24067  df-vol 24068

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  42879  hoidmvlelem5  42888