Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval0 45382
Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval0.p β„²π‘—πœ‘
hoidmvval0.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvval0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval0.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval0.j (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
Assertion
Ref Expression
hoidmvval0 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐴,𝑗,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,𝑗   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐿(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (πœ‘ β†’ πœ‘)
2 hoidmvval0.j . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
3 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘—))
4 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
53, 4breq12d 5161 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) ↔ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)))
65cbvrexvw 3235 . . . 4 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
7 rexn0 4510 . . . 4 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
86, 7sylbir 234 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
92, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
10 hoidmvval0.l . . . 4 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
11 hoidmvval0.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
1211adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
13 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 hoidmvval0.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1514adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
16 hoidmvval0.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1716adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1810, 12, 13, 15, 17hoidmvn0val 45379 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
192adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
20 hoidmvval0.p . . . . . 6 β„²π‘—πœ‘
21 nfv 1917 . . . . . 6 Ⅎ𝑗 𝑋 β‰  βˆ…
2220, 21nfan 1902 . . . . 5 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)
23 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘—βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0
24 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
25 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—)))
26113ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2714ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2816ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
29 volicore 45376 . . . . . . . . . . 11 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
3130recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
32313ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
334, 3oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—)))
3433fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))))
35 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
3614ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
37363adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
3816ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
39383adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
40 volico 44778 . . . . . . . . . 10 (((π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0))
42 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
4339, 37lenltd 11362 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ ((π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) ↔ Β¬ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)))
4442, 43mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—))
4544iffalsed 4539 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0) = 0)
4641, 45eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = 0)
4724, 25, 26, 32, 34, 35, 46fprod0 44391 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
48473adant1r 1177 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
49483exp 1119 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑗 ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)))
5022, 23, 49rexlimd 3263 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0))
5119, 50mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
52 eqidd 2733 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 0 = 0)
5318, 51, 523eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
541, 9, 53syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  [,)cico 13328  βˆcprod 15851  volcvol 24987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989
This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  45385  hoidmvlelem5  45394
  Copyright terms: Public domain W3C validator