Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval0 41593
Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval0.p 𝑗𝜑
hoidmvval0.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvval0.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j (𝜑 → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
Assertion
Ref Expression
hoidmvval0 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
2 hoidmvval0.j . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
3 fveq2 6437 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
4 fveq2 6437 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
53, 4breq12d 4888 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)))
65cbvrexv 3384 . . . 4 (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
7 rexn0 4298 . . . 4 (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
86, 7sylbir 227 . . 3 (∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
92, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
10 hoidmvval0.l . . . 4 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
11 hoidmvval0.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1211adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14 hoidmvval0.a . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1514adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16 hoidmvval0.b . . . . 5 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1716adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
1810, 12, 13, 15, 17hoidmvn0val 41590 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
192adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
20 hoidmvval0.p . . . . . 6 𝑗𝜑
21 nfv 2013 . . . . . 6 𝑗 𝑋 ≠ ∅
2220, 21nfan 2002 . . . . 5 𝑗(𝜑𝑋 ≠ ∅)
23 nfv 2013 . . . . 5 𝑗𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0
24 nfv 2013 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
25 nfcv 2969 . . . . . . . 8 𝑘(vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
26113ad2ant1 1167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
2714ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2816ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
29 volicore 41587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
3027, 28, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
3130recnd 10392 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
32313ad2antl1 1240 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
334, 3oveq12d 6928 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
3433fveq2d 6441 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
35 simp2 1171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
3614ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
37363adant3 1166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
3816ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
39383adant3 1166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
40 volico 40992 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
4137, 39, 40syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
42 simp3 1172 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
4339, 37lenltd 10509 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
4442, 43mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
4544iffalsed 4319 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
4641, 45eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
4724, 25, 26, 32, 34, 35, 46fprod0 40621 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
48473adant1r 1227 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
49483exp 1152 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑗𝑋 → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
5022, 23, 49rexlimd 3235 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0))
5119, 50mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
52 eqidd 2826 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
5318, 51, 523eqtrd 2865 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
541, 9, 53syl2anc 579 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wnf 1882  wcel 2164  wne 2999  wrex 3118  c0 4146  ifcif 4308   class class class wbr 4875  cmpt 4954  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  cmpt2 6912  𝑚 cmap 8127  Fincfn 8228  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  [,)cico 12472  cprod 15015  volcvol 23636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-prod 15016  df-rest 16443  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-cmp 21568  df-ovol 23637  df-vol 23638
This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  41596  hoidmvlelem5  41605
  Copyright terms: Public domain W3C validator