Theorem hoidmvval0 44015

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0.p	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
hoidmvval0.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		hoidmvval0.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
3		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
4		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
5	3, 4	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
6	5	cbvrexvw 3373	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
7		rexn0 4438	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
8	6, 7	sylbir 234	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		hoidmvval0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
11		hoidmvval0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		hoidmvval0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		hoidmvval0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	10, 12, 13, 15, 17	hoidmvn0val 44012	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
20		hoidmvval0.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
21		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑋 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅)
23		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0
24		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
25		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
26	11	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
27	14	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
28	16	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
29		volicore 44009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
32	31	3ad2antl1 1183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
33	4, 3	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
34	33	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
35		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑋)
36	14	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
38	16	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
39	38	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
40		volico 43414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
41	37, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
42		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
43	39, 37	lenltd 11051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗)))
44	42, 43	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗))
45	44	iffalsed 4467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0) = 0)
46	41, 45	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
47	24, 25, 26, 32, 34, 35, 46	fprod0 43027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
48	47	3adant1r 1175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
49	48	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)))
50	22, 23, 49	rexlimd 3245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0))
51	19, 50	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
52		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
53	18, 51, 52	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)
54	1, 9, 53	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ∅c0 4253  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  [,)cico 13010  ∏cprod 15543  volcvol 24532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-prod 15544  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  44018  hoidmvlelem5  44027