Theorem hoidmvval0 47161

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval0.p	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
hoidmvval0.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval0	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		hoidmvval0.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
3		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
4		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
5	3, 4	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)))
6	5	cbvrexvw 3241	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
7		rexn0 4450	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
8	6, 7	sylbir 237	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		hoidmvval0.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
11		hoidmvval0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		hoidmvval0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16		hoidmvval0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	10, 12, 13, 15, 17	hoidmvn0val 47158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
20		hoidmvval0.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
21		nfv 1934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑋 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅)
23		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0
24		nfv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
25		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
26	11	3ad2ant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
27	14	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
28	16	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
29		volicore 47155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
32	31	3ad2antl1 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
33	4, 3	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
34	33	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
35		simp2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑋)
36	14	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
38	16	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
39	38	3adant3 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
40		volico 46557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
41	37, 39, 40	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
42		simp3 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗))
43	39, 37	lenltd 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗)))
44	42, 43	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ¬ (𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗))
45	44	iffalsed 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → if((𝐴‘𝑗) < (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0) = 0)
46	41, 45	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
47	24, 25, 26, 32, 34, 35, 46	fprod0 46172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
48	47	3adant1r 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
49	48	3exp 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑗 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)))
50	22, 23, 49	rexlimd 3269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑗) ≤ (𝐴‘𝑗) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0))
51	19, 50	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
52		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
53	18, 51, 52	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)
54	1, 9, 53	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  ∅c0 4285  ifcif 4480   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  [,)cico 13351  ∏cprod 15933  volcvol 25525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-prod 15934  df-rest 17451  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-top 22954  df-topon 22971  df-bases 23006  df-cmp 23447  df-ovol 25526  df-vol 25527

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  47164  hoidmvlelem5  47173