Theorem vonn0ioo 46725

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonn0ioo.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)(,)(𝐵‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
vonn0ioo	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonn0ioo.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		vonn0ioo.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3		vonn0ioo.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
4		vonn0ioo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)(,)(𝐵‘𝑘))
5		fveq2 6817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑎‘𝑗) = (𝑎‘𝑘))
6		fveq2 6817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑘))
7	5, 6	oveq12d 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)) = ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
8	7	fveq2d 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
9	8	cbvprodv 15816	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
10		ifeq2 4475	. . . . . . . 8 ⊢ (∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥)) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
13	12	mpoeq3ia 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
14	13	mpteq2i 5182	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
15	1, 2, 3, 4, 14	vonioo 46720	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵))
16	14	fveq1i 6818	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋) = ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)
17	16	oveqi 7354	. . . 4 ⊢ (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
19	15, 18	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
20		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
21		vonn0ioo.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
22	20, 1, 21, 2, 3	hoidmvn0val 46622	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
23	19, 22	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4278  ifcif 4470   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343   ↑_m cmap 8745  Xcixp 8816  Fincfn 8864  ℝcr 11000  0cc0 11001  (,)cioo 13240  [,)cico 13242  ∏cprod 15805  volcvol 25386  volncvoln 46576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10321  ax-ac2 10349  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-acn 9830  df-ac 10002  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-prod 15806  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-pws 17348  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-rhm 20385  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-field 20642  df-abv 20719  df-staf 20749  df-srng 20750  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lmhm 20951  df-lvec 21032  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-refld 21537  df-phl 21558  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-cmp 23297  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-nm 24492  df-ngp 24493  df-tng 24494  df-nrg 24495  df-nlm 24496  df-cncf 24793  df-clm 24985  df-cph 25090  df-tcph 25091  df-rrx 25307  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-salg 46347  df-sumge0 46401  df-mea 46488  df-ome 46528  df-caragen 46530  df-ovoln 46575  df-voln 46577

This theorem is referenced by:  vonn0ioo2  46728