Theorem vonn0ioo 47136

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonn0ioo.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonn0ioo.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)(,)(𝐵‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
vonn0ioo	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonn0ioo.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		vonn0ioo.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3		vonn0ioo.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
4		vonn0ioo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)(,)(𝐵‘𝑘))
5		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑎‘𝑗) = (𝑎‘𝑘))
6		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑘))
7	5, 6	oveq12d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)) = ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
8	7	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
9	8	cbvprodv 15873	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
10		ifeq2 4472	. . . . . . . 8 ⊢ (∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥)) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
13	12	mpoeq3ia 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
14	13	mpteq2i 5182	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
15	1, 2, 3, 4, 14	vonioo 47131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵))
16	14	fveq1i 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋) = ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)
17	16	oveqi 7374	. . . 4 ⊢ (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑗)[,)(𝑏‘𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
19	15, 18	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
20		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
21		vonn0ioo.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
22	20, 1, 21, 2, 3	hoidmvn0val 47033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
23	19, 22	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑_m cmap 8767  Xcixp 8839  Fincfn 8887  ℝcr 11031  0cc0 11032  (,)cioo 13292  [,)cico 13294  ∏cprod 15862  volcvol 25443  volncvoln 46987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-ac2 10379  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-acn 9860  df-ac 10032  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-prod 15863  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-pws 17406  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-field 20703  df-abv 20780  df-staf 20810  df-srng 20811  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lmhm 21012  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-refld 21598  df-phl 21619  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-cmp 23365  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-nm 24560  df-ngp 24561  df-tng 24562  df-nrg 24563  df-nlm 24564  df-cncf 24858  df-clm 25043  df-cph 25148  df-tcph 25149  df-rrx 25365  df-ovol 25444  df-vol 25445  df-salg 46758  df-sumge0 46812  df-mea 46899  df-ome 46939  df-caragen 46941  df-ovoln 46986  df-voln 46988

This theorem is referenced by:  vonn0ioo2  47139