Theorem islnm2 43069

Description: Property of being a Noetherian left module with finite generation expanded in terms of spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islnm2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
islnm2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
islnm2	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑖,𝑀   𝑖,𝑁,𝑔   𝑆,𝑖,𝑔   𝐵,𝑖,𝑔

Proof of Theorem islnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnm2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
2	1	islnm 43068	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen))
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑖) = (𝑀 ↾s 𝑖)
4		islnm2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
5		islnm2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6	3, 1, 4, 5	islssfg2 43062	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑔) = 𝑖))
7		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑔) = 𝑖 ↔ 𝑖 = (𝑁‘𝑔))
8	7	rexbii 3084	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑔) = 𝑖 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
9	6, 8	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
10	9	ralbidva 3162	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
11	10	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen) ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
12	2, 11	bitri 275	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∩ cin 3930  𝒫 cpw 4580  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LSpanclspn 20933  LFinGenclfig 43058  LNoeMclnm 43066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lfig 43059  df-lnm 43067

This theorem is referenced by:  filnm  43081  islnr2  43105