Theorem islnm2 41810

Description: Property of being a Noetherian left module with finite generation expanded in terms of spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islnm2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
islnm2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
islnm2	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑖,𝑀   𝑖,𝑁,𝑔   𝑆,𝑖,𝑔   𝐵,𝑖,𝑔

Proof of Theorem islnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnm2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
2	1	islnm 41809	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen))
3		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑖) = (𝑀 ↾s 𝑖)
4		islnm2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
5		islnm2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6	3, 1, 4, 5	islssfg2 41803	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑔) = 𝑖))
7		eqcom 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑔) = 𝑖 ↔ 𝑖 = (𝑁‘𝑔))
8	7	rexbii 3094	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑔) = 𝑖 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
9	6, 8	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
10	9	ralbidva 3175	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
11	10	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen) ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
12	2, 11	bitri 274	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3947  𝒫 cpw 4602  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LFinGenclfig 41799  LNoeMclnm 41807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lfig 41800  df-lnm 41808

This theorem is referenced by:  filnm  41822  islnr2  41846