Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islnm2 39953
 Description: Property of being a Noetherian left module with finite generation expanded in terms of spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnm2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islnm2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
islnm2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
islnm2 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑖,𝑀   𝑖,𝑁,𝑔   𝑆,𝑖,𝑔   𝐵,𝑖,𝑔

Proof of Theorem islnm2
StepHypRef Expression
1 islnm2.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
21islnm 39952 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆 (𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen))
3 eqid 2822 . . . . . 6 (𝑀s 𝑖) = (𝑀s 𝑖)
4 islnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
5 islnm2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
63, 1, 4, 5islssfg2 39946 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑔) = 𝑖))
7 eqcom 2829 . . . . . 6 ((𝑁𝑔) = 𝑖𝑖 = (𝑁𝑔))
87rexbii 3235 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑔) = 𝑖 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔))
96, 8syl6bb 290 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
109ralbidva 3186 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → (∀𝑖𝑆 (𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
1110pm5.32i 578 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆 (𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen) ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
122, 11bitri 278 1 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ∃wrex 3131   ∩ cin 3907  𝒫 cpw 4511  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  LSpanclspn 19734  LFinGenclfig 39942  LNoeMclnm 39950 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lfig 39943  df-lnm 39951 This theorem is referenced by:  filnm  39965  islnr2  39989
 Copyright terms: Public domain W3C validator