Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islnm2 39074
Description: Property of being a Noetherian left module with finite generation expanded in terms of spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnm2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islnm2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
islnm2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
islnm2 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑖,𝑀   𝑖,𝑁,𝑔   𝑆,𝑖,𝑔   𝐵,𝑖,𝑔

Proof of Theorem islnm2
StepHypRef Expression
1 islnm2.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
21islnm 39073 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆 (𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen))
3 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑀s 𝑖) = (𝑀s 𝑖)
4 islnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
5 islnm2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
63, 1, 4, 5islssfg2 39067 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑔) = 𝑖))
7 eqcom 2785 . . . . . 6 ((𝑁𝑔) = 𝑖𝑖 = (𝑁𝑔))
87rexbii 3194 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑔) = 𝑖 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔))
96, 8syl6bb 279 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
109ralbidva 3146 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → (∀𝑖𝑆 (𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
1110pm5.32i 567 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆 (𝑀s 𝑖) ∈ LFinGen) ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
122, 11bitri 267 1 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖𝑆𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  cin 3830  𝒫 cpw 4423  cfv 6190  (class class class)co 6978  Fincfn 8308  Basecbs 16342  s cress 16343  LModclmod 19359  LSubSpclss 19428  LSpanclspn 19468  LFinGenclfig 39063  LNoeMclnm 39071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-0g 16574  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-subg 18063  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-lsp 19469  df-lfig 39064  df-lnm 39072
This theorem is referenced by:  filnm  39086  islnr2  39110
  Copyright terms: Public domain W3C validator