Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islnm2 42372
Description: Property of being a Noetherian left module with finite generation expanded in terms of spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnm2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islnm2.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘€)
islnm2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
islnm2 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑖,𝑀   𝑖,𝑁,𝑔   𝑆,𝑖,𝑔   𝐡,𝑖,𝑔

Proof of Theorem islnm2
StepHypRef Expression
1 islnm2.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘€)
21islnm 42371 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 (𝑀 β†Ύs 𝑖) ∈ LFinGen))
3 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑀 β†Ύs 𝑖) = (𝑀 β†Ύs 𝑖)
4 islnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
5 islnm2.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
63, 1, 4, 5islssfg2 42365 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 β†Ύs 𝑖) ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)(π‘β€˜π‘”) = 𝑖))
7 eqcom 2731 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘”) = 𝑖 ↔ 𝑖 = (π‘β€˜π‘”))
87rexbii 3086 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)(π‘β€˜π‘”) = 𝑖 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”))
96, 8bitrdi 287 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 β†Ύs 𝑖) ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
109ralbidva 3167 . . 3 (𝑀 ∈ LMod β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑆 (𝑀 β†Ύs 𝑖) ∈ LFinGen ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
1110pm5.32i 574 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 (𝑀 β†Ύs 𝑖) ∈ LFinGen) ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
122, 11bitri 275 1 (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3940  π’« cpw 4595  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LFinGenclfig 42361  LNoeMclnm 42369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lfig 42362  df-lnm 42370
This theorem is referenced by:  filnm  42384  islnr2  42408
  Copyright terms: Public domain W3C validator