Theorem islnm2 43090

Description: Property of being a Noetherian left module with finite generation expanded in terms of spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islnm2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
islnm2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
islnm2	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑖,𝑀   𝑖,𝑁,𝑔   𝑆,𝑖,𝑔   𝐵,𝑖,𝑔

Proof of Theorem islnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnm2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
2	1	islnm 43089	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen))
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑖) = (𝑀 ↾s 𝑖)
4		islnm2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
5		islnm2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6	3, 1, 4, 5	islssfg2 43083	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑔) = 𝑖))
7		eqcom 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑔) = 𝑖 ↔ 𝑖 = (𝑁‘𝑔))
8	7	rexbii 3094	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑔) = 𝑖 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
9	6, 8	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
10	9	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
11	10	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 (𝑀 ↾s 𝑖) ∈ LFinGen) ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
12	2, 11	bitri 275	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950  𝒫 cpw 4600  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LFinGenclfig 43079  LNoeMclnm 43087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lfig 43080  df-lnm 43088

This theorem is referenced by:  filnm  43102  islnr2  43126