MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrhm 20723
Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
qusrhm.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
qusrhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ [π‘₯](𝑅 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem qusrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrhm.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . 2 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . 2 (1rβ€˜π‘ˆ) = (1rβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . 2 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
6 simpl 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 qusring.u . . 3 π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8 qusring.i . . 3 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
97, 8qusring 20722 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
10 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
1310, 11, 12, 82idlval 20719 . . . . . . . 8 𝐼 = ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
1413elin2 4158 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
1514simplbi 499 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
1610lidlsubg 20701 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
1715, 16sylan2 594 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
18 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
191, 18eqger 18985 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
211fvexi 6857 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ V)
23 qusrhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ [π‘₯](𝑅 ~QG 𝑆))
2420, 22, 23divsfval 17434 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆))
257, 8, 2qus1 20721 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ)))
2625simprd 497 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ))
2724, 26eqtrd 2773 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ˆ))
287a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
291a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…))
301, 18, 8, 42idlcpbl 20720 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
311, 4ringcl 19986 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
32313expb 1121 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
3332adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
3433caovclg 7547 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ 𝑋)
3528, 29, 20, 6, 30, 34, 4, 5qusmulval 17442 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
36353expb 1121 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
3720adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
3821a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ V)
3937, 38, 23divsfval 17434 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
4037, 38, 23divsfval 17434 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
4139, 40oveq12d 7376 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘§)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
4237, 38, 23divsfval 17434 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
4336, 41, 423eqtr4rd 2784 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘§)))
44 ringabl 20007 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
4544adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
46 ablnsg 19630 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
4817, 47eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
491, 7, 23qusghm 19050 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘ˆ))
5048, 49syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘ˆ))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27, 43, 50isrhm2d 20167 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   Er wer 8648  [cec 8649  Basecbs 17088  .rcmulr 17139   /s cqus 17392  SubGrpcsubg 18927  NrmSGrpcnsg 18928   ~QG cqg 18929   GrpHom cghm 19010  Abelcabl 19568  1rcur 19918  Ringcrg 19969  opprcoppr 20053   RingHom crh 20150  LIdealclidl 20647  2Idealc2idl 20717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-2idl 20718
This theorem is referenced by:  znzrh2  20968
  Copyright terms: Public domain W3C validator