MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrhm 21304
Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qusrhm.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
qusrhm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrhm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2735 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2735 . 2 (1r𝑈) = (1r𝑈)
4 eqid 2735 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2735 . 2 (.r𝑈) = (.r𝑈)
6 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7 qusring.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8 qusring.i . . 3 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
97, 8qusring 21303 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
10 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
12 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
1310, 11, 12, 82idlval 21279 . . . . . . . 8 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
1413elin2 4213 . . . . . . 7 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
1514simplbi 497 . . . . . 6 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
1610lidlsubg 21251 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1715, 16sylan2 593 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
191, 18eqger 19209 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
211fvexi 6921 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 ∈ V)
23 qusrhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
2420, 22, 23divsfval 17594 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆))
257, 8, 2qus1 21302 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))
2625simprd 495 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈))
2724, 26eqtrd 2775 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑈))
287a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
291a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 = (Base‘𝑅))
301, 18, 8, 42idlcpbl 21300 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
311, 4ringcl 20268 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
32313expb 1119 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3332adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3433caovclg 7625 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝑋)
3528, 29, 20, 6, 30, 34, 4, 5qusmulval 17602 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
36353expb 1119 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
3720adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
3821a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
3937, 38, 23divsfval 17594 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
4037, 38, 23divsfval 17594 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
4139, 40oveq12d 7449 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
4237, 38, 23divsfval 17594 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
4336, 41, 423eqtr4rd 2786 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)))
44 ringabl 20295 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
4544adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
46 ablnsg 19880 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4817, 47eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
491, 7, 23qusghm 19286 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
5048, 49syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27, 43, 50isrhm2d 20504 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   /s cqus 17552  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153   GrpHom cghm 19243  Abelcabl 19814  1rcur 20199  Ringcrg 20251  opprcoppr 20350   RingHom crh 20486  LIdealclidl 21234  2Idealc2idl 21277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-2idl 21278
This theorem is referenced by:  znzrh2  21582
  Copyright terms: Public domain W3C validator