MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrhm 21287
Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qusrhm.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
qusrhm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrhm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2736 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2736 . 2 (1r𝑈) = (1r𝑈)
4 eqid 2736 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2736 . 2 (.r𝑈) = (.r𝑈)
6 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7 qusring.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8 qusring.i . . 3 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
97, 8qusring 21286 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
10 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
12 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
1310, 11, 12, 82idlval 21262 . . . . . . . 8 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
1413elin2 4202 . . . . . . 7 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
1514simplbi 497 . . . . . 6 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
1610lidlsubg 21234 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1715, 16sylan2 593 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
191, 18eqger 19197 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
211fvexi 6919 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 ∈ V)
23 qusrhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
2420, 22, 23divsfval 17593 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆))
257, 8, 2qus1 21285 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))
2625simprd 495 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈))
2724, 26eqtrd 2776 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑈))
287a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
291a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 = (Base‘𝑅))
301, 18, 8, 42idlcpbl 21283 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
311, 4ringcl 20248 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
32313expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3332adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3433caovclg 7626 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝑋)
3528, 29, 20, 6, 30, 34, 4, 5qusmulval 17601 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
36353expb 1120 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
3720adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
3821a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
3937, 38, 23divsfval 17593 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
4037, 38, 23divsfval 17593 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
4139, 40oveq12d 7450 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
4237, 38, 23divsfval 17593 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
4336, 41, 423eqtr4rd 2787 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)))
44 ringabl 20279 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
4544adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
46 ablnsg 19866 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4817, 47eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
491, 7, 23qusghm 19274 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
5048, 49syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27, 43, 50isrhm2d 20488 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432   Er wer 8743  [cec 8744  Basecbs 17248  .rcmulr 17299   /s cqus 17551  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140   ~QG cqg 19141   GrpHom cghm 19231  Abelcabl 19800  1rcur 20179  Ringcrg 20231  opprcoppr 20334   RingHom crh 20470  LIdealclidl 21217  2Idealc2idl 21260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-rhm 20473  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-2idl 21261
This theorem is referenced by:  znzrh2  21565
  Copyright terms: Public domain W3C validator