MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrhm 21175
Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
qusrhm.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
qusrhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ [π‘₯](𝑅 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem qusrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrhm.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2727 . 2 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3 eqid 2727 . 2 (1rβ€˜π‘ˆ) = (1rβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2727 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2727 . 2 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
6 simpl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 qusring.u . . 3 π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8 qusring.i . . 3 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
97, 8qusring 21174 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
10 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
11 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
12 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
1310, 11, 12, 82idlval 21150 . . . . . . . 8 𝐼 = ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
1413elin2 4197 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
1514simplbi 496 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
1610lidlsubg 21124 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
1715, 16sylan2 591 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
18 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
191, 18eqger 19138 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
211fvexi 6914 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ V)
23 qusrhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ [π‘₯](𝑅 ~QG 𝑆))
2420, 22, 23divsfval 17534 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆))
257, 8, 2qus1 21173 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ)))
2625simprd 494 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ))
2724, 26eqtrd 2767 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ˆ))
287a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
291a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…))
301, 18, 8, 42idlcpbl 21171 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
311, 4ringcl 20195 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
32313expb 1117 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
3332adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
3433caovclg 7617 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ 𝑋)
3528, 29, 20, 6, 30, 34, 4, 5qusmulval 17542 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
36353expb 1117 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
3720adantr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
3821a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ V)
3937, 38, 23divsfval 17534 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
4037, 38, 23divsfval 17534 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
4139, 40oveq12d 7442 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘§)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
4237, 38, 23divsfval 17534 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
4336, 41, 423eqtr4rd 2778 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘§)))
44 ringabl 20222 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
4544adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
46 ablnsg 19807 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
4817, 47eleqtrrd 2831 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
491, 7, 23qusghm 19214 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘ˆ))
5048, 49syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘ˆ))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27, 43, 50isrhm2d 20431 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ↦ cmpt 5233  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   Er wer 8726  [cec 8727  Basecbs 17185  .rcmulr 17239   /s cqus 17492  SubGrpcsubg 19080  NrmSGrpcnsg 19081   ~QG cqg 19082   GrpHom cghm 19172  Abelcabl 19741  1rcur 20126  Ringcrg 20178  opprcoppr 20277   RingHom crh 20413  LIdealclidl 21107  2Idealc2idl 21148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-0g 17428  df-imas 17495  df-qus 17496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-nsg 19084  df-eqg 19085  df-ghm 19173  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-rhm 20416  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-lidl 21109  df-2idl 21149
This theorem is referenced by:  znzrh2  21484
  Copyright terms: Public domain W3C validator