MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrhm 21131
Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
qusrhm.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
qusrhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ [π‘₯](𝑅 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem qusrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrhm.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2726 . 2 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . 2 (1rβ€˜π‘ˆ) = (1rβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2726 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . 2 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
6 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 qusring.u . . 3 π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8 qusring.i . . 3 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
97, 8qusring 21130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
10 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
11 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
12 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
1310, 11, 12, 82idlval 21106 . . . . . . . 8 𝐼 = ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
1413elin2 4192 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
1514simplbi 497 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
1610lidlsubg 21080 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
1715, 16sylan2 592 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
18 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
191, 18eqger 19103 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
211fvexi 6898 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ V)
23 qusrhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ [π‘₯](𝑅 ~QG 𝑆))
2420, 22, 23divsfval 17500 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆))
257, 8, 2qus1 21129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ)))
2625simprd 495 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1rβ€˜π‘ˆ))
2724, 26eqtrd 2766 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ˆ))
287a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
291a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…))
301, 18, 8, 42idlcpbl 21127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
311, 4ringcl 20153 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
32313expb 1117 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
3332adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝑋)
3433caovclg 7595 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ 𝑋)
3528, 29, 20, 6, 30, 34, 4, 5qusmulval 17508 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
36353expb 1117 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
3720adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
3821a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ V)
3937, 38, 23divsfval 17500 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
4037, 38, 23divsfval 17500 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
4139, 40oveq12d 7422 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘§)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
4237, 38, 23divsfval 17500 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = [(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
4336, 41, 423eqtr4rd 2777 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘§)))
44 ringabl 20178 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
4544adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
46 ablnsg 19765 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜π‘…))
4817, 47eleqtrrd 2830 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
491, 7, 23qusghm 19178 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘ˆ))
5048, 49syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘ˆ))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27, 43, 50isrhm2d 20387 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699  [cec 8700  Basecbs 17151  .rcmulr 17205   /s cqus 17458  SubGrpcsubg 19045  NrmSGrpcnsg 19046   ~QG cqg 19047   GrpHom cghm 19136  Abelcabl 19699  1rcur 20084  Ringcrg 20136  opprcoppr 20233   RingHom crh 20369  LIdealclidl 21063  2Idealc2idl 21104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-nsg 19049  df-eqg 19050  df-ghm 19137  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-rhm 20372  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21065  df-2idl 21105
This theorem is referenced by:  znzrh2  21436
  Copyright terms: Public domain W3C validator