Theorem qusrhm 20508

Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qusrhm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
qusrhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
qusrhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusrhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrhm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
4		eqid 2738	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2738	. 2 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
6		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7		qusring.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8		qusring.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
9	7, 8	qusring 20507	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
10		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
13	10, 11, 12, 8	2idlval 20504	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
14	13	elin2 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
15	14	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
16	10	lidlsubg 20486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17	15, 16	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
19	1, 18	eqger 18806	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
20	17, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
21	1	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ V)
23		qusrhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
24	20, 22, 23	divsfval 17258	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆))
25	7, 8, 2	qus1 20506	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))
26	25	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈))
27	24, 26	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
28	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
29	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑋 = (Base‘𝑅))
30	1, 18, 8, 4	2idlcpbl 20505	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
31	1, 4	ringcl 19800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
32	31	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
33	32	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
34	33	caovclg 7464	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝑋)
35	28, 29, 20, 6, 30, 34, 4, 5	qusmulval 17266	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
36	35	3expb 1119	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
37	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
38	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
39	37, 38, 23	divsfval 17258	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
40	37, 38, 23	divsfval 17258	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
41	39, 40	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑈)(𝐹‘𝑧)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
42	37, 38, 23	divsfval 17258	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
43	36, 41, 42	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑈)(𝐹‘𝑧)))
44		ringabl 19819	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
45	44	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
46		ablnsg 19448	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
47	45, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
48	17, 47	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
49	1, 7, 23	qusghm 18871	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
50	48, 49	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27, 43, 50	isrhm2d 19972	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   Er wer 8495  [cec 8496  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   /_s cqus 17216  SubGrpcsubg 18749  NrmSGrpcnsg 18750   ~_QG cqg 18751   GrpHom cghm 18831  Abelcabl 19387  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  opp_rcoppr 19861   RingHom crh 19956  LIdealclidl 20432  2Idealc2idl 20502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-2idl 20503

This theorem is referenced by:  znzrh2  20753