MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgrhm 21046
Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from โ„ค to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgghm2.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
mulgrhm.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgrhm (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘…,๐‘›   ยท ,๐‘›   1 ,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem mulgrhm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21022 . 2 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
2 zring1 21028 . 2 1 = (1rโ€˜โ„คring)
3 mulgrhm.1 . 2 1 = (1rโ€˜๐‘…)
4 zringmulr 21026 . 2 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
5 eqid 2732 . 2 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 zringring 21019 . . 3 โ„คring โˆˆ Ring
76a1i 11 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โ„คring โˆˆ Ring)
8 id 22 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 1z 12591 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
10 oveq1 7415 . . . . 5 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (1 ยท 1 ))
11 mulgghm2.f . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
12 ovex 7441 . . . . 5 (1 ยท 1 ) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6998 . . . 4 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜1) = (1 ยท 1 ))
149, 13ax-mp 5 . . 3 (๐นโ€˜1) = (1 ยท 1 )
15 eqid 2732 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
1615, 3ringidcl 20082 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 mulgghm2.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
1815, 17mulg1 18960 . . . 4 ( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (1 ยท 1 ) = 1 )
1916, 18syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1 ยท 1 ) = 1 )
2014, 19eqtrid 2784 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐นโ€˜1) = 1 )
21 ringgrp 20060 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
23 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2416adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2515, 17mulgcl 18970 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2715, 5, 3ringlidm 20085 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
2826, 27syldan 591 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
2928oveq2d 7424 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
30 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
31 simprl 769 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
3215, 17, 5mulgass2 20120 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))))
3330, 31, 24, 26, 32syl13anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))))
3415, 17mulgass 18990 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
3522, 31, 23, 24, 34syl13anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
3629, 33, 353eqtr4rd 2783 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
37 zmulcl 12610 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
3837adantl 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
39 oveq1 7415 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
40 ovex 7441 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) โˆˆ V
4139, 11, 40fvmpt 6998 . . . 4 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
4238, 41syl 17 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
43 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
44 ovex 7441 . . . . . 6 (๐‘ฅ ยท 1 ) โˆˆ V
4543, 11, 44fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
46 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
47 ovex 7441 . . . . . 6 (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ V
4846, 11, 47fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
4945, 48oveqan12d 7427 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
5049adantl 482 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
5136, 42, 503eqtr4d 2782 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
5217, 11, 15mulgghm2 21045 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
5321, 16, 52syl2anc 584 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
541, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 20, 51, 53isrhm2d 20264 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„คcz 12557  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Grpcgrp 18818  .gcmg 18949   GrpHom cghm 19088  1rcur 20003  Ringcrg 20055   RingHom crh 20247  โ„คringczring 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-cnfld 20944  df-zring 21017
This theorem is referenced by:  mulgrhm2  21047
  Copyright terms: Public domain W3C validator