Theorem mulgrhm 20191

Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 20169	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring1 20174	. 2 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
3		mulgrhm.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		zringmulr 20172	. 2 ⊢ · = (.r‘ℤring)
5		eqid 2798	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		zringring 20166	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
8		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9		1z 12000	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 1 ) = (1 · 1 ))
11		mulgghm2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
12		ovex 7168	. . . . 5 ⊢ (1 · 1 ) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6745	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐹‘1) = (1 · 1 ))
14	9, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹‘1) = (1 · 1 )
15		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	15, 3	ringidcl 19314	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
17		mulgghm2.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
18	15, 17	mulg1 18227	. . . 4 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1 · 1 ) = 1 )
19	16, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) = 1 )
20	14, 19	syl5eq 2845	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = 1 )
21		ringgrp 19295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
23		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
24	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
25	15, 17	mulgcl 18237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
27	15, 5, 3	ringlidm 19317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
28	26, 27	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
29	28	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
30		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32	15, 17, 5	mulgass2 19347	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
33	30, 31, 24, 26, 32	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
34	15, 17	mulgass 18256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
35	22, 31, 23, 24, 34	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
36	29, 33, 35	3eqtr4rd 2844	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
37		zmulcl 12019	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38	37	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
39		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
40		ovex 7168	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) ∈ V
41	39, 11, 40	fvmpt 6745	. . . 4 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
42	38, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
43		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
44		ovex 7168	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 1 ) ∈ V
45	43, 11, 44	fvmpt 6745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
46		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
47		ovex 7168	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 · 1 ) ∈ V
48	46, 11, 47	fvmpt 6745	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
49	45, 48	oveqan12d 7154	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
50	49	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
51	36, 42, 50	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
52	17, 11, 15	mulgghm2 20190	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
53	21, 16, 52	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
54	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 20, 51, 53	isrhm2d 19476	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527   · cmul 10531  ℤcz 11969  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216   GrpHom cghm 18347  1_rcur 19244  Ringcrg 19290   RingHom crh 19460  ℤ_ringzring 20163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-cnfld 20092  df-zring 20164

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  20192