Theorem mulgrhm 21407

Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21383	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring1 21389	. 2 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
3		mulgrhm.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		zringmulr 21387	. 2 ⊢ · = (.r‘ℤring)
5		eqid 2730	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		zringring 21379	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
8		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9		1z 12494	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		oveq1 7348	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 1 ) = (1 · 1 ))
11		mulgghm2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
12		ovex 7374	. . . . 5 ⊢ (1 · 1 ) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6924	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐹‘1) = (1 · 1 ))
14	9, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹‘1) = (1 · 1 )
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	15, 3	ringidcl 20176	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
17		mulgghm2.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
18	15, 17	mulg1 18986	. . . 4 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1 · 1 ) = 1 )
19	16, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) = 1 )
20	14, 19	eqtrid 2777	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = 1 )
21		ringgrp 20149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
23		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
24	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
25	15, 17	mulgcl 18996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
27	15, 5, 3	ringlidm 20180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
28	26, 27	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
29	28	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
30		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32	15, 17, 5	mulgass2 20220	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
33	30, 31, 24, 26, 32	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
34	15, 17	mulgass 19016	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
35	22, 31, 23, 24, 34	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
36	29, 33, 35	3eqtr4rd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
37		zmulcl 12513	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
39		oveq1 7348	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
40		ovex 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) ∈ V
41	39, 11, 40	fvmpt 6924	. . . 4 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
42	38, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
43		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
44		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 1 ) ∈ V
45	43, 11, 44	fvmpt 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
46		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
47		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 · 1 ) ∈ V
48	46, 11, 47	fvmpt 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
49	45, 48	oveqan12d 7360	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
50	49	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
51	36, 42, 50	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
52	17, 11, 15	mulgghm2 21406	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
53	21, 16, 52	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
54	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 20, 51, 53	isrhm2d 20397	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1c1 10999   · cmul 11003  ℤcz 12460  Basecbs 17112  ._rcmulr 17154  Grpcgrp 18838  ._gcmg 18972   GrpHom cghm 19117  1_rcur 20092  Ringcrg 20144   RingHom crh 20380  ℤ_ringczring 21376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-seq 13901  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-rhm 20383  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-cnfld 21285  df-zring 21377

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  21408