MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgrhm 20921
Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from โ„ค to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgghm2.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
mulgrhm.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgrhm (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘…,๐‘›   ยท ,๐‘›   1 ,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem mulgrhm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20898 . 2 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
2 zring1 20903 . 2 1 = (1rโ€˜โ„คring)
3 mulgrhm.1 . 2 1 = (1rโ€˜๐‘…)
4 zringmulr 20901 . 2 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
5 eqid 2733 . 2 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 zringring 20895 . . 3 โ„คring โˆˆ Ring
76a1i 11 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โ„คring โˆˆ Ring)
8 id 22 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 1z 12541 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
10 oveq1 7368 . . . . 5 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (1 ยท 1 ))
11 mulgghm2.f . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
12 ovex 7394 . . . . 5 (1 ยท 1 ) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6952 . . . 4 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜1) = (1 ยท 1 ))
149, 13ax-mp 5 . . 3 (๐นโ€˜1) = (1 ยท 1 )
15 eqid 2733 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
1615, 3ringidcl 19997 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 mulgghm2.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
1815, 17mulg1 18891 . . . 4 ( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (1 ยท 1 ) = 1 )
1916, 18syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1 ยท 1 ) = 1 )
2014, 19eqtrid 2785 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐นโ€˜1) = 1 )
21 ringgrp 19977 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
23 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2416adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2515, 17mulgcl 18901 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2715, 5, 3ringlidm 20000 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
2826, 27syldan 592 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
2928oveq2d 7377 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
30 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
31 simprl 770 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
3215, 17, 5mulgass2 20033 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))))
3330, 31, 24, 26, 32syl13anc 1373 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))))
3415, 17mulgass 18921 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
3522, 31, 23, 24, 34syl13anc 1373 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
3629, 33, 353eqtr4rd 2784 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
37 zmulcl 12560 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
3837adantl 483 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
39 oveq1 7368 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
40 ovex 7394 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) โˆˆ V
4139, 11, 40fvmpt 6952 . . . 4 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
4238, 41syl 17 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
43 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
44 ovex 7394 . . . . . 6 (๐‘ฅ ยท 1 ) โˆˆ V
4543, 11, 44fvmpt 6952 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
46 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
47 ovex 7394 . . . . . 6 (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ V
4846, 11, 47fvmpt 6952 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
4945, 48oveqan12d 7380 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
5049adantl 483 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
5136, 42, 503eqtr4d 2783 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
5217, 11, 15mulgghm2 20920 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
5321, 16, 52syl2anc 585 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
541, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 20, 51, 53isrhm2d 20170 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060   ยท cmul 11064  โ„คcz 12507  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Grpcgrp 18756  .gcmg 18880   GrpHom cghm 19013  1rcur 19921  Ringcrg 19972   RingHom crh 20153  โ„คringczring 20892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-zring 20893
This theorem is referenced by:  mulgrhm2  20922
  Copyright terms: Public domain W3C validator