MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgrhm 21248
Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from โ„ค to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgghm2.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
mulgrhm.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgrhm (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘…,๐‘›   ยท ,๐‘›   1 ,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem mulgrhm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21224 . 2 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
2 zring1 21230 . 2 1 = (1rโ€˜โ„คring)
3 mulgrhm.1 . 2 1 = (1rโ€˜๐‘…)
4 zringmulr 21228 . 2 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
5 eqid 2732 . 2 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 zringring 21220 . . 3 โ„คring โˆˆ Ring
76a1i 11 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โ„คring โˆˆ Ring)
8 id 22 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 1z 12596 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
10 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (1 ยท 1 ))
11 mulgghm2.f . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
12 ovex 7444 . . . . 5 (1 ยท 1 ) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6998 . . . 4 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜1) = (1 ยท 1 ))
149, 13ax-mp 5 . . 3 (๐นโ€˜1) = (1 ยท 1 )
15 eqid 2732 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
1615, 3ringidcl 20154 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 mulgghm2.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
1815, 17mulg1 18997 . . . 4 ( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (1 ยท 1 ) = 1 )
1916, 18syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1 ยท 1 ) = 1 )
2014, 19eqtrid 2784 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐นโ€˜1) = 1 )
21 ringgrp 20132 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
23 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2416adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2515, 17mulgcl 19007 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2715, 5, 3ringlidm 20157 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
2826, 27syldan 591 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
2928oveq2d 7427 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
30 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
31 simprl 769 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
3215, 17, 5mulgass2 20197 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))))
3330, 31, 24, 26, 32syl13anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )) = (๐‘ฅ ยท ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 ))))
3415, 17mulgass 19027 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
3522, 31, 23, 24, 34syl13anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท 1 )))
3629, 33, 353eqtr4rd 2783 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
37 zmulcl 12615 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
3837adantl 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
39 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
40 ovex 7444 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ) โˆˆ V
4139, 11, 40fvmpt 6998 . . . 4 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
4238, 41syl 17 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท 1 ))
43 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
44 ovex 7444 . . . . . 6 (๐‘ฅ ยท 1 ) โˆˆ V
4543, 11, 44fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยท 1 ))
46 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
47 ovex 7444 . . . . . 6 (๐‘ฆ ยท 1 ) โˆˆ V
4846, 11, 47fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 1 ))
4945, 48oveqan12d 7430 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
5049adantl 482 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1 )(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท 1 )))
5136, 42, 503eqtr4d 2782 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
5217, 11, 15mulgghm2 21247 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
5321, 16, 52syl2anc 584 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
541, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 20, 51, 53isrhm2d 20378 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986   GrpHom cghm 19127  1rcur 20075  Ringcrg 20127   RingHom crh 20360  โ„คringczring 21217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-cnfld 21145  df-zring 21218
This theorem is referenced by:  mulgrhm2  21249
  Copyright terms: Public domain W3C validator