MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgrhm 20347
Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m · = (.g𝑅)
mulgghm2.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mulgrhm (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20325 . 2 ℤ = (Base‘ℤring)
2 zring1 20330 . 2 1 = (1r‘ℤring)
3 mulgrhm.1 . 2 1 = (1r𝑅)
4 zringmulr 20328 . 2 · = (.r‘ℤring)
5 eqid 2778 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 zringring 20322 . . 3 ring ∈ Ring
76a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
8 id 22 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9 1z 11825 . . . 4 1 ∈ ℤ
10 oveq1 6983 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛 · 1 ) = (1 · 1 ))
11 mulgghm2.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
12 ovex 7008 . . . . 5 (1 · 1 ) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6595 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (𝐹‘1) = (1 · 1 ))
149, 13ax-mp 5 . . 3 (𝐹‘1) = (1 · 1 )
15 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1615, 3ringidcl 19041 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
17 mulgghm2.m . . . . 5 · = (.g𝑅)
1815, 17mulg1 18020 . . . 4 ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1 · 1 ) = 1 )
1916, 18syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) = 1 )
2014, 19syl5eq 2826 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = 1 )
21 ringgrp 19025 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2221adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
23 simprr 760 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2416adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
2515, 17mulgcl 18030 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1351 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
2715, 5, 3ringlidm 19044 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
2826, 27syldan 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
2928oveq2d 6992 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · ( 1 (.r𝑅)(𝑦 · 1 ))) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
30 simpl 475 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
31 simprl 758 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3215, 17, 5mulgass2 19074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 1 )(.r𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r𝑅)(𝑦 · 1 ))))
3330, 31, 24, 26, 32syl13anc 1352 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 1 )(.r𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r𝑅)(𝑦 · 1 ))))
3415, 17mulgass 18048 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
3522, 31, 23, 24, 34syl13anc 1352 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
3629, 33, 353eqtr4rd 2825 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(.r𝑅)(𝑦 · 1 )))
37 zmulcl 11844 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3837adantl 474 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
39 oveq1 6983 . . . . 5 (𝑛 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
40 ovex 7008 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) ∈ V
4139, 11, 40fvmpt 6595 . . . 4 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
4238, 41syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
43 oveq1 6983 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
44 ovex 7008 . . . . . 6 (𝑥 · 1 ) ∈ V
4543, 11, 44fvmpt 6595 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → (𝐹𝑥) = (𝑥 · 1 ))
46 oveq1 6983 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
47 ovex 7008 . . . . . 6 (𝑦 · 1 ) ∈ V
4846, 11, 47fvmpt 6595 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 1 ))
4945, 48oveqan12d 6995 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥)(.r𝑅)(𝐹𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r𝑅)(𝑦 · 1 )))
5049adantl 474 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑥)(.r𝑅)(𝐹𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r𝑅)(𝑦 · 1 )))
5136, 42, 503eqtr4d 2824 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(.r𝑅)(𝐹𝑦)))
5217, 11, 15mulgghm2 20346 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
5321, 16, 52syl2anc 576 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
541, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 20, 51, 53isrhm2d 19203 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336   · cmul 10340  cz 11793  Basecbs 16339  .rcmulr 16422  Grpcgrp 17891  .gcmg 18011   GrpHom cghm 18126  1rcur 18974  Ringcrg 19020   RingHom crh 19187  ringzring 20319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-seq 13185  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cmn 18668  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-rnghom 19190  df-subrg 19256  df-cnfld 20248  df-zring 20320
This theorem is referenced by:  mulgrhm2  20348
  Copyright terms: Public domain W3C validator