Theorem itsclc0yqsollem2 45736

Description: Lemma 2 for itsclc0yqsol 45737. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
itsclc0yqsollem1.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqsollem2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 10802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 10802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	3anim123i 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5		recn 10802	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
6	4, 5	anim12i 616	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
7	6	3adant3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
8		itscnhlc0yqe.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
9		itscnhlc0yqe.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
10		itscnhlc0yqe.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
11		itsclc0yqsollem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
12	8, 9, 10, 11	itsclc0yqsollem1 45735	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
14	13	fveq2d 6710	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = (√‘((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷)))
15		4re 11897	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 4 ∈ ℝ)
17		simp1 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resqcld 13800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19	18	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
20	16, 19	remulcld 10846	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (4 · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
21		0re 10818	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		4pos 11920	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
23	21, 15, 22	ltleii 10938	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 4)
25	17	sqge0d 13801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
26	25	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ (𝐴↑2))
27	16, 19, 24, 26	mulge0d 11392	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ (4 · (𝐴↑2)))
28		simp2 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
29	28	resqcld 13800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
30	8	resum2sqcl 45679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
31	30	3adant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant1 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑄 ∈ ℝ)
33	29, 32	remulcld 10846	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
34		simp3 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	34	resqcld 13800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
37	33, 36	resubcld 11243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
38	11, 37	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
39		simp3 1140	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
40	20, 27, 38, 39	sqrtmuld 14971	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷)) = ((√‘(4 · (𝐴↑2))) · (√‘𝐷)))
41	15, 23	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4))
43		resqcl 13679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
44		sqge0 13690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
45		sqrtmul 14806	. . . . . . 7 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4) ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2))) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
46	42, 43, 44, 45	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
47	46	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
48	47	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
49		sqrt4 14819	. . . . . 6 ⊢ (√‘4) = 2
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘4) = 2)
51		absre 14848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
52	51	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
53	52	3ad2ant1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
54	53	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
55	50, 54	oveq12d 7220	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))) = (2 · (abs‘𝐴)))
56	48, 55	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = (2 · (abs‘𝐴)))
57	56	oveq1d 7217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘(4 · (𝐴↑2))) · (√‘𝐷)) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
58	14, 40, 57	3eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712   + caddc 10715   · cmul 10717   ≤ cle 10851   − cmin 11045  -cneg 11046  2c2 11868  4c4 11870  ↑cexp 13618  √csqrt 14779  abscabs 14780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-sup 9047  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-seq 13558  df-exp 13619  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782

This theorem is referenced by:  itsclc0yqsol  45737