Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0yqsollem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0yqsollem2 47449
Description: Lemma 2 for itsclc0yqsol 47450. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itscnhlc0yqe.t ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
itscnhlc0yqe.u ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
itsclc0yqsollem1.d ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0yqsollem2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ)))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem2
StepHypRef Expression
1 recn 11200 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 recn 11200 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 recn 11200 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41, 2, 33anim123i 1152 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5 recn 11200 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
64, 5anim12i 614 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
763adant3 1133 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
8 itscnhlc0yqe.q . . . . 5 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
9 itscnhlc0yqe.t . . . . 5 ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
10 itscnhlc0yqe.u . . . . 5 ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
11 itsclc0yqsollem1.d . . . . 5 ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
128, 9, 10, 11itsclc0yqsollem1 47448 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ))) = ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท))
137, 12syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ))) = ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท))
1413fveq2d 6896 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ)))) = (โˆšโ€˜((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท)))
15 4re 12296 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 4 โˆˆ โ„)
17 simp1 1137 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1817resqcld 14090 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
19183ad2ant1 1134 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
2016, 19remulcld 11244 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (4 ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„)
21 0re 11216 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
22 4pos 12319 . . . . . 6 0 < 4
2321, 15, 22ltleii 11337 . . . . 5 0 โ‰ค 4
2423a1i 11 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค 4)
2517sqge0d 14102 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
26253ad2ant1 1134 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
2716, 19, 24, 26mulge0d 11791 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค (4 ยท (๐ดโ†‘2)))
28 simp2 1138 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2928resqcld 14090 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
308resum2sqcl 47392 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
31303adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
32313ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
3329, 32remulcld 11244 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
34 simp3 1139 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3534resqcld 14090 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
36353ad2ant1 1134 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
3733, 36resubcld 11642 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
3811, 37eqeltrid 2838 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
39 simp3 1139 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
4020, 27, 38, 39sqrtmuld 15371 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท)) = ((โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
4115, 23pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4)
4241a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4))
43 resqcl 14089 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
44 sqge0 14101 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
45 sqrtmul 15206 . . . . . . 7 (((4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
4642, 43, 44, 45syl12anc 836 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
47463ad2ant1 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
48473ad2ant1 1134 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
49 sqrt4 15219 . . . . . 6 (โˆšโ€˜4) = 2
5049a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜4) = 2)
51 absre 15248 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))
5251eqcomd 2739 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = (absโ€˜๐ด))
53523ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = (absโ€˜๐ด))
54533ad2ant1 1134 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = (absโ€˜๐ด))
5550, 54oveq12d 7427 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
5648, 55eqtrd 2773 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
5756oveq1d 7424 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
5814, 40, 573eqtrd 2777 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ)))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  2c2 12267  4c4 12269  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  itsclc0yqsol  47450
  Copyright terms: Public domain W3C validator