Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0yqsollem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0yqsollem2 47538
Description: Lemma 2 for itsclc0yqsol 47539. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itscnhlc0yqe.t ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
itscnhlc0yqe.u ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
itsclc0yqsollem1.d ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0yqsollem2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ)))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem2
StepHypRef Expression
1 recn 11204 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 recn 11204 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 recn 11204 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41, 2, 33anim123i 1149 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5 recn 11204 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
64, 5anim12i 611 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
763adant3 1130 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
8 itscnhlc0yqe.q . . . . 5 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
9 itscnhlc0yqe.t . . . . 5 ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
10 itscnhlc0yqe.u . . . . 5 ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
11 itsclc0yqsollem1.d . . . . 5 ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
128, 9, 10, 11itsclc0yqsollem1 47537 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ))) = ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท))
137, 12syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ))) = ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท))
1413fveq2d 6896 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ)))) = (โˆšโ€˜((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท)))
15 4re 12302 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 4 โˆˆ โ„)
17 simp1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1817resqcld 14096 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
19183ad2ant1 1131 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
2016, 19remulcld 11250 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (4 ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„)
21 0re 11222 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
22 4pos 12325 . . . . . 6 0 < 4
2321, 15, 22ltleii 11343 . . . . 5 0 โ‰ค 4
2423a1i 11 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค 4)
2517sqge0d 14108 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
26253ad2ant1 1131 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
2716, 19, 24, 26mulge0d 11797 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค (4 ยท (๐ดโ†‘2)))
28 simp2 1135 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2928resqcld 14096 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
308resum2sqcl 47481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
31303adant3 1130 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
32313ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
3329, 32remulcld 11250 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
34 simp3 1136 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3534resqcld 14096 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
36353ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
3733, 36resubcld 11648 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
3811, 37eqeltrid 2835 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
39 simp3 1136 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
4020, 27, 38, 39sqrtmuld 15377 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท)) = ((โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
4115, 23pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4)
4241a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4))
43 resqcl 14095 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
44 sqge0 14107 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
45 sqrtmul 15212 . . . . . . 7 (((4 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 4) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
4642, 43, 44, 45syl12anc 833 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
47463ad2ant1 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
48473ad2ant1 1131 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))))
49 sqrt4 15225 . . . . . 6 (โˆšโ€˜4) = 2
5049a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜4) = 2)
51 absre 15254 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))
5251eqcomd 2736 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = (absโ€˜๐ด))
53523ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = (absโ€˜๐ด))
54533ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = (absโ€˜๐ด))
5550, 54oveq12d 7431 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜4) ยท (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2))) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
5648, 55eqtrd 2770 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
5756oveq1d 7428 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(4 ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
5814, 40, 573eqtrd 2774 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ)))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โ‰ค cle 11255   โˆ’ cmin 11450  -cneg 11451  2c2 12273  4c4 12275  โ†‘cexp 14033  โˆšcsqrt 15186  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  itsclc0yqsol  47539
  Copyright terms: Public domain W3C validator