Theorem itsclc0yqsollem2 48684

Description: Lemma 2 for itsclc0yqsol 48685. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
itsclc0yqsollem1.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqsollem2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	3anim123i 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5		recn 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
6	4, 5	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
7	6	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
8		itscnhlc0yqe.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
9		itscnhlc0yqe.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
10		itscnhlc0yqe.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
11		itsclc0yqsollem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
12	8, 9, 10, 11	itsclc0yqsollem1 48683	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
14	13	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = (√‘((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷)))
15		4re 12350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 4 ∈ ℝ)
17		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14165	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19	18	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
20	16, 19	remulcld 11291	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (4 · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
21		0re 11263	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		4pos 12373	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
23	21, 15, 22	ltleii 11384	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 4)
25	17	sqge0d 14177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
26	25	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ (𝐴↑2))
27	16, 19, 24, 26	mulge0d 11840	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ (4 · (𝐴↑2)))
28		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
29	28	resqcld 14165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
30	8	resum2sqcl 48627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
31	30	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑄 ∈ ℝ)
33	29, 32	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
34		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	34	resqcld 14165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
37	33, 36	resubcld 11691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
38	11, 37	eqeltrid 2845	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
39		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
40	20, 27, 38, 39	sqrtmuld 15463	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷)) = ((√‘(4 · (𝐴↑2))) · (√‘𝐷)))
41	15, 23	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4))
43		resqcl 14164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
44		sqge0 14176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
45		sqrtmul 15298	. . . . . . 7 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4) ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2))) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
46	42, 43, 44, 45	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
47	46	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
48	47	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))))
49		sqrt4 15311	. . . . . 6 ⊢ (√‘4) = 2
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘4) = 2)
51		absre 15340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
52	51	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
53	52	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
54	53	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(𝐴↑2)) = (abs‘𝐴))
55	50, 54	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘4) · (√‘(𝐴↑2))) = (2 · (abs‘𝐴)))
56	48, 55	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(4 · (𝐴↑2))) = (2 · (abs‘𝐴)))
57	56	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘(4 · (𝐴↑2))) · (√‘𝐷)) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
58	14, 40, 57	3eqtrd 2781	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈)))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493  2c2 12321  4c4 12323  ↑cexp 14102  √csqrt 15272  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  itsclc0yqsol  48685