Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual1 36389
Description: The unit scalar of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual1.u 1 = (1r𝑅)
ldual1.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1.s 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
ldual1.i 𝐼 = (1r𝑆)
ldual1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
ldual1 (𝜑𝐼 = 1 )

Proof of Theorem ldual1
StepHypRef Expression
1 ldual1.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2824 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
3 ldual1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 ldual1.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
5 ldual1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
61, 2, 3, 4, 5ldualsca 36373 . . 3 (𝜑𝑆 = (oppr𝑅))
76fveq2d 6665 . 2 (𝜑 → (1r𝑆) = (1r‘(oppr𝑅)))
8 ldual1.i . 2 𝐼 = (1r𝑆)
9 ldual1.u . . 3 1 = (1r𝑅)
102, 9oppr1 19387 . 2 1 = (1r‘(oppr𝑅))
117, 8, 103eqtr4g 2884 1 (𝜑𝐼 = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  Scalarcsca 16568  1rcur 19251  opprcoppr 19375  LModclmod 19634  LDualcld 36364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-oppr 19376  df-ldual 36365
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  36398
  Copyright terms: Public domain W3C validator