Theorem ldual1 36444

Description: The unit scalar of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual1.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldual1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
ldual1.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝑆)
ldual1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldual1	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 1 )

Proof of Theorem ldual1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		ldual1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		ldual1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
5		ldual1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	1, 2, 3, 4, 5	ldualsca 36428	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
7	6	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘(oppr‘𝑅)))
8		ldual1.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝑆)
9		ldual1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	2, 9	oppr1 19380	. 2 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
11	7, 8, 10	3eqtr4g 2858	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  Scalarcsca 16560  1_rcur 19244  opp_rcoppr 19368  LModclmod 19627  LDualcld 36419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-oppr 19369  df-ldual 36420

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  36453