Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual0 36325
Description: The zero scalar of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0.z 0 = (0g𝑅)
ldual0.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0.s 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
ldual0.o 𝑂 = (0g𝑆)
ldual0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
ldual0 (𝜑𝑂 = 0 )

Proof of Theorem ldual0
StepHypRef Expression
1 ldual0.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2821 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
3 ldual0.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 ldual0.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
5 ldual0.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
61, 2, 3, 4, 5ldualsca 36310 . . 3 (𝜑𝑆 = (oppr𝑅))
76fveq2d 6647 . 2 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g‘(oppr𝑅)))
8 ldual0.o . 2 𝑂 = (0g𝑆)
9 ldual0.z . . 3 0 = (0g𝑅)
102, 9oppr0 19362 . 2 0 = (0g‘(oppr𝑅))
117, 8, 103eqtr4g 2881 1 (𝜑𝑂 = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  Scalarcsca 16547  0gc0g 16692  opprcoppr 19351  LModclmod 19610  LDualcld 36301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-oppr 19352  df-ldual 36302
This theorem is referenced by:  ldual0vs  36338  lkreqN  36348  lkrlspeqN  36349  lclkrlem1  38684
  Copyright terms: Public domain W3C validator