Theorem ldual0 40470

Description: The zero scalar of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldual0.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
ldual0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
ldual0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldual0	⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

Proof of Theorem ldual0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		ldual0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		ldual0.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
5		ldual0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	1, 2, 3, 4, 5	ldualsca 40455	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
7	6	fveq2d 6920	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘(oppr‘𝑅)))
8		ldual0.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
9		ldual0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	2, 9	oppr0 20630	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
11	7, 8, 10	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  Scalarcsca 17475  0_gc0g 17660  opp_rcoppr 20617  LModclmod 21186  LDualcld 40446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-oppr 20618  df-ldual 40447

This theorem is used by:  ldual0vs  40483  lkreqN  40493  lkrlspeqN  40494  lclkrlem1  42829