Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual0 35223
 Description: The zero scalar of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0.z 0 = (0g𝑅)
ldual0.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0.s 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
ldual0.o 𝑂 = (0g𝑆)
ldual0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
ldual0 (𝜑𝑂 = 0 )

Proof of Theorem ldual0
StepHypRef Expression
1 ldual0.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2826 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
3 ldual0.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 ldual0.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
5 ldual0.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
61, 2, 3, 4, 5ldualsca 35208 . . 3 (𝜑𝑆 = (oppr𝑅))
76fveq2d 6438 . 2 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g‘(oppr𝑅)))
8 ldual0.o . 2 𝑂 = (0g𝑆)
9 ldual0.z . . 3 0 = (0g𝑅)
102, 9oppr0 18988 . 2 0 = (0g‘(oppr𝑅))
117, 8, 103eqtr4g 2887 1 (𝜑𝑂 = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6124  Scalarcsca 16309  0gc0g 16454  opprcoppr 18977  LModclmod 19220  LDualcld 35199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-oppr 18978  df-ldual 35200 This theorem is referenced by:  ldual0vs  35236  lkreqN  35246  lkrlspeqN  35247  lclkrlem1  37582
 Copyright terms: Public domain W3C validator