Theorem ldualvscl 36435

Description: The scalar product operation value is a functional. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvscl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvscl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvscl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvscl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvscl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvscl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvscl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvscl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvscl.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvscl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvscl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvscl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 36433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12	2, 3, 4, 5, 1, 8, 10, 9	lflvscl 36373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∈ 𝐹)
13	11, 12	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  LModclmod 19627  LFnlclfn 36353  LDualcld 36419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lfl 36354  df-ldual 36420

This theorem is referenced by:  ldualvsdi1  36439  ldualvsdi2  36440  lduallmodlem  36448  ldualvsubcl  36452  ldualvsubval  36453  lkreqN  36466  lclkrlem1  38802  lclkrslem1  38833  lcfrlem1  38838  lcfrlem2  38839  lcfrlem3  38840  lcfrlem30  38868  lcfrlem31  38869