Theorem lmatcl 30428

Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1	⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmatcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 30425	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	syl5eq 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		lmatfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
7	6	oveq2d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
8		lmatfval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		lbfzo0 12804	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11		0nn0 11636	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
14	13	eleq1d 2892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
15	13	fveq2d 6438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
16	15	fveqeq2d 6442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
17	14, 16	imbi12d 336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
18		lmatfval.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
19	18	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
20	12, 17, 19	vtocld 3474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
22	21	oveq2d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
23		eqidd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
24	7, 22, 23	mpt2eq123dv 6978	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
25	5, 24	eqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
26		lmatcl.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27		lmatcl.b	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
28		lmatcl.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
29		fzfid 13068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
30		lmatcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
31	2	3ad2ant1 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
32		simp2 1173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
33		fz1fzo0m1 12812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
35	6	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
36	35	oveq2d 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
37	34, 36	eleqtrrd 2910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		wrdsymbcl 13588	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
39	31, 37, 38	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
40		simp3 1174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41		fz1fzo0m1 12812	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43		ovexd 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
44		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
45		eqidd 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
46	44, 45	eleq12d 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
47	44	fveq2d 6438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
48	47	fveqeq2d 6442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
49	46, 48	imbi12d 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
50	43, 49, 19	vtocld 3474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
51	50	imp 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
52	33, 51	sylan2 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
53	52	3adant3 1168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
54	53	oveq2d 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
55	42, 54	eleqtrrd 2910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
56		wrdsymbcl 13588	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
57	39, 55, 56	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
58	26, 27, 28, 29, 30, 57	matbas2d 20597	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
59	25, 58	eqeltrd 2907	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↦ cmpt2 6908  0cc0 10253  1c1 10254   − cmin 10586  ℕcn 11351  ℕ₀cn0 11619  ...cfz 12620  ..^cfzo 12761  ♯chash 13411  Word cword 13575  Basecbs 16223   Mat cmat 20581  litMatclmat 30423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-prds 16462  df-pws 16464  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-mat 20582  df-lmat 30424

This theorem is referenced by:  lmat22det  30434