Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 33353
Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r (𝜑𝑅𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (𝜑𝑀𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 33350 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4eqtrid 2779 . . 3 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
76oveq2d 7430 . . . 4 (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 lbfzo0 13696 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
108, 9sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 12509 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1615fveqeq2d 6899 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
18 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
1918ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
2012, 17, 19vtocld 3543 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
2221oveq2d 7430 . . . 4 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
23 eqidd 2728 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
247, 22, 23mpoeq123dv 7489 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
255, 24eqtrd 2767 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
26 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
28 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Base‘𝑂)
29 fzfid 13962 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
30 lmatcl.r . . 3 (𝜑𝑅𝑋)
3123ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
32 simp2 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
33 fz1fzo0m1 13704 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3563ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3635oveq2d 7430 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
3734, 36eleqtrrd 2831 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38 wrdsymbcl 14501 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
3931, 37, 38syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
40 simp3 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41 fz1fzo0m1 13704 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43 ovexd 7449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
45 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4644, 45eleq12d 2822 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4744fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
4847fveqeq2d 6899 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
4946, 48imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
5043, 49, 19vtocld 3543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
5150imp 406 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5233, 51sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
53523adant3 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5453oveq2d 7430 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
5542, 54eleqtrrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
56 wrdsymbcl 14501 . . . 4 (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
5739, 55, 56syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
5826, 27, 28, 29, 30, 57matbas2d 22312 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
5925, 58eqeltrd 2828 1 (𝜑𝑀𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  0cc0 11130  1c1 11131  cmin 11466  cn 12234  0cn0 12494  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  chash 14313  Word cword 14488  Basecbs 17171   Mat cmat 22294  litMatclmat 33348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-prds 17420  df-pws 17422  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-mat 22295  df-lmat 33349
This theorem is referenced by:  lmat22det  33359
  Copyright terms: Public domain W3C validator