Theorem lmatcl 31169

Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1	⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmatcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 31166	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	syl5eq 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		lmatfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
7	6	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
8		lmatfval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13072	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11		0nn0 11900	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
14	13	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
15	13	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
16	15	fveqeq2d 6653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
17	14, 16	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
18		lmatfval.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
19	18	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
20	12, 17, 19	vtocld 3504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
22	21	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
23		eqidd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
24	7, 22, 23	mpoeq123dv 7208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
25	5, 24	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
26		lmatcl.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27		lmatcl.b	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
28		lmatcl.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
29		fzfid 13336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
30		lmatcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
31	2	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
32		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
33		fz1fzo0m1 13080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
35	6	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
36	35	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
37	34, 36	eleqtrrd 2893	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		wrdsymbcl 13870	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
39	31, 37, 38	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
40		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41		fz1fzo0m1 13080	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43		ovexd 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
44		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
45		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
46	44, 45	eleq12d 2884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
47	44	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
48	47	fveqeq2d 6653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
49	46, 48	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
50	43, 49, 19	vtocld 3504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
51	50	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
52	33, 51	sylan2 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
53	52	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
54	53	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
55	42, 54	eleqtrrd 2893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
56		wrdsymbcl 13870	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
57	39, 55, 56	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
58	26, 27, 28, 29, 30, 57	matbas2d 21028	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
59	25, 58	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  0cc0 10526  1c1 10527   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857  Basecbs 16475   Mat cmat 21012  litMatclmat 31164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-mat 21013  df-lmat 31165

This theorem is referenced by:  lmat22det  31175