Theorem lmatcl 33816

Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1	⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmatcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 33813	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		lmatfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
7	6	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
8		lmatfval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13740	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11		0nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
14	13	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
15	13	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
16	15	fveqeq2d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
18		lmatfval.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
20	12, 17, 19	vtocld 3560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
22	21	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
23		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
24	7, 22, 23	mpoeq123dv 7509	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
25	5, 24	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
26		lmatcl.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27		lmatcl.b	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
28		lmatcl.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
29		fzfid 14015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
30		lmatcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
31	2	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
32		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
33		fz1fzo0m1 13751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
35	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
36	35	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
37	34, 36	eleqtrrd 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		wrdsymbcl 14566	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
39	31, 37, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
40		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41		fz1fzo0m1 13751	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43		ovexd 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
45		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
46	44, 45	eleq12d 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
47	44	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
48	47	fveqeq2d 6913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
49	46, 48	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
50	43, 49, 19	vtocld 3560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
51	50	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
52	33, 51	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
53	52	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
54	53	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
55	42, 54	eleqtrrd 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
56		wrdsymbcl 14566	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
57	39, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
58	26, 27, 28, 29, 30, 57	matbas2d 22430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
59	25, 58	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  0cc0 11156  1c1 11157   − cmin 11493  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  ♯chash 14370  Word cword 14553  Basecbs 17248   Mat cmat 22412  litMatclmat 33811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-mat 22413  df-lmat 33812

This theorem is referenced by:  lmat22det  33822