Theorem lmatcl 33852

Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1	⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmatcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 33849	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		lmatfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
7	6	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
8		lmatfval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13721	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11		0nn0 12521	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
14	13	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
15	13	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
16	15	fveqeq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
18		lmatfval.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
20	12, 17, 19	vtocld 3545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
22	21	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
23		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
24	7, 22, 23	mpoeq123dv 7487	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
25	5, 24	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
26		lmatcl.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27		lmatcl.b	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
28		lmatcl.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑂)
29		fzfid 13996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
30		lmatcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
31	2	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
32		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
33		fz1fzo0m1 13732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
35	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
36	35	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
37	34, 36	eleqtrrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		wrdsymbcl 14550	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
39	31, 37, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
40		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41		fz1fzo0m1 13732	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43		ovexd 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
45		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
46	44, 45	eleq12d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
47	44	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
48	47	fveqeq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
49	46, 48	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
50	43, 49, 19	vtocld 3545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
51	50	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
52	33, 51	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
53	52	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
54	53	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
55	42, 54	eleqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
56		wrdsymbcl 14550	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
57	39, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
58	26, 27, 28, 29, 30, 57	matbas2d 22366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
59	25, 58	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  0cc0 11134  1c1 11135   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536  Basecbs 17233   Mat cmat 22350  litMatclmat 33847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-pws 17468  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-mat 22351  df-lmat 33848

This theorem is referenced by:  lmat22det  33858