Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 33450
Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
lmatfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
lmatfval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
lmatfval.2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
lmatcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,π‘Š   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
2 lmatfval.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 33447 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word Word 𝑉 β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
51, 4eqtrid 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
76oveq2d 7442 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜π‘Š)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 lbfzo0 13712 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ β„•)
108, 9sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 12525 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
13 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2814 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
1615fveqeq2d 6910 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
1714, 16imbi12d 343 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)))
18 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
1918ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁))
2012, 17, 19vtocld 3547 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)
2221oveq2d 7442 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) = (1...𝑁))
23 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
247, 22, 23mpoeq123dv 7501 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
255, 24eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
26 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
28 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
29 fzfid 13978 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
30 lmatcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3123ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
32 simp2 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
33 fz1fzo0m1 13720 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3563ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
3635oveq2d 7442 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑁))
3734, 36eleqtrrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
38 wrdsymbcl 14517 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word Word 𝑉 ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
3931, 37, 38syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
40 simp3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41 fz1fzo0m1 13720 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
43 ovexd 7461 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ V)
44 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1))
45 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4644, 45eleq12d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
4744fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
4847fveqeq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
4946, 48imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)))
5043, 49, 19vtocld 3547 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
5150imp 405 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5233, 51sylan2 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
53523adant3 1129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5453oveq2d 7442 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (0..^𝑁))
5542, 54eleqtrrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))))
56 wrdsymbcl 14517 . . . 4 (((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5739, 55, 56syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5826, 27, 28, 29, 30, 57matbas2d 22345 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) ∈ 𝑃)
5925, 58eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  0cc0 11146  1c1 11147   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  Word cword 14504  Basecbs 17187   Mat cmat 22327  litMatclmat 33445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mat 22328  df-lmat 33446
This theorem is referenced by:  lmat22det  33456
  Copyright terms: Public domain W3C validator