Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 32177
Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
lmatfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
lmatfval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
lmatfval.2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
lmatcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,π‘Š   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
2 lmatfval.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 32174 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word Word 𝑉 β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
51, 4eqtrid 2790 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
76oveq2d 7366 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜π‘Š)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 lbfzo0 13542 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ β„•)
108, 9sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 12362 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
13 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2823 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6842 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
1615fveqeq2d 6846 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
1714, 16imbi12d 345 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)))
18 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
1918ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁))
2012, 17, 19vtocld 3510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)
2221oveq2d 7366 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) = (1...𝑁))
23 eqidd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
247, 22, 23mpoeq123dv 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
255, 24eqtrd 2778 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
26 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
28 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
29 fzfid 13808 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
30 lmatcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
32 simp2 1138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
33 fz1fzo0m1 13550 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3563ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
3635oveq2d 7366 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑁))
3734, 36eleqtrrd 2842 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
38 wrdsymbcl 14344 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word Word 𝑉 ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
3931, 37, 38syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
40 simp3 1139 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41 fz1fzo0m1 13550 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
43 ovexd 7385 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ V)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1))
45 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4644, 45eleq12d 2833 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
4744fveq2d 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
4847fveqeq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
4946, 48imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)))
5043, 49, 19vtocld 3510 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
5150imp 408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5233, 51sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
53523adant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5453oveq2d 7366 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (0..^𝑁))
5542, 54eleqtrrd 2842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))))
56 wrdsymbcl 14344 . . . 4 (((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5739, 55, 56syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5826, 27, 28, 29, 30, 57matbas2d 21700 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) ∈ 𝑃)
5925, 58eqeltrd 2839 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∈ cmpo 7352  0cc0 10985  1c1 10986   βˆ’ cmin 11319  β„•cn 12087  β„•0cn0 12347  ...cfz 13354  ..^cfzo 13497  β™―chash 14159  Word cword 14331  Basecbs 17019   Mat cmat 21682  litMatclmat 32172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-sup 9312  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-hash 14160  df-word 14332  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-hom 17093  df-cco 17094  df-0g 17259  df-prds 17265  df-pws 17267  df-sra 20562  df-rgmod 20563  df-dsmm 21067  df-frlm 21082  df-mat 21683  df-lmat 32173
This theorem is referenced by:  lmat22det  32183
  Copyright terms: Public domain W3C validator