Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 32266
Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
lmatfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
lmatfval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
lmatfval.2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
lmatcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,π‘Š   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
2 lmatfval.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 32263 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word Word 𝑉 β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
51, 4eqtrid 2788 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
76oveq2d 7369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜π‘Š)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 lbfzo0 13604 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ β„•)
108, 9sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 12424 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2822 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
1615fveqeq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)))
18 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
1918ex 413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁))
2012, 17, 19vtocld 3509 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)
2221oveq2d 7369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) = (1...𝑁))
23 eqidd 2737 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
247, 22, 23mpoeq123dv 7428 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
255, 24eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
26 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
28 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
29 fzfid 13870 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
30 lmatcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3123ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
32 simp2 1137 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
33 fz1fzo0m1 13612 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3563ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
3635oveq2d 7369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑁))
3734, 36eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
38 wrdsymbcl 14407 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word Word 𝑉 ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
3931, 37, 38syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
40 simp3 1138 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41 fz1fzo0m1 13612 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
43 ovexd 7388 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ V)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1))
45 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4644, 45eleq12d 2832 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
4744fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
4847fveqeq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
4946, 48imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)))
5043, 49, 19vtocld 3509 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
5150imp 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5233, 51sylan2 593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
53523adant3 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5453oveq2d 7369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (0..^𝑁))
5542, 54eleqtrrd 2841 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))))
56 wrdsymbcl 14407 . . . 4 (((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5739, 55, 56syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5826, 27, 28, 29, 30, 57matbas2d 21756 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) ∈ 𝑃)
5925, 58eqeltrd 2838 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  0cc0 11047  1c1 11048   βˆ’ cmin 11381  β„•cn 12149  β„•0cn0 12409  ...cfz 13416  ..^cfzo 13559  β™―chash 14222  Word cword 14394  Basecbs 17075   Mat cmat 21738  litMatclmat 32261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-sup 9374  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-hom 17149  df-cco 17150  df-0g 17315  df-prds 17321  df-pws 17323  df-sra 20618  df-rgmod 20619  df-dsmm 21123  df-frlm 21138  df-mat 21739  df-lmat 32262
This theorem is referenced by:  lmat22det  32272
  Copyright terms: Public domain W3C validator