Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 33326
Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
lmatfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
lmatfval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
lmatfval.2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
lmatcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,π‘Š   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
2 lmatfval.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 33323 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word Word 𝑉 β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
51, 4eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
76oveq2d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜π‘Š)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 lbfzo0 13675 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ β„•)
108, 9sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 12488 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
1615fveqeq2d 6892 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)))
18 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
1918ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁))
2012, 17, 19vtocld 3542 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)
2221oveq2d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) = (1...𝑁))
23 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
247, 22, 23mpoeq123dv 7479 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
255, 24eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
26 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
27 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
28 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜π‘‚)
29 fzfid 13941 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
30 lmatcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3123ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
32 simp2 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
33 fz1fzo0m1 13683 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3563ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
3635oveq2d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑁))
3734, 36eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
38 wrdsymbcl 14481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word Word 𝑉 ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
3931, 37, 38syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
40 simp3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑁))
41 fz1fzo0m1 13683 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
43 ovexd 7439 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ V)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1))
45 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4644, 45eleq12d 2821 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
4744fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
4847fveqeq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
4946, 48imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)))
5043, 49, 19vtocld 3542 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁))
5150imp 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5233, 51sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
53523adant3 1129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = 𝑁)
5453oveq2d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (0..^𝑁))
5542, 54eleqtrrd 2830 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))))
56 wrdsymbcl 14481 . . . 4 (((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5739, 55, 56syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5826, 27, 28, 29, 30, 57matbas2d 22276 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘Šβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) ∈ 𝑃)
5925, 58eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  0cc0 11109  1c1 11110   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630  β™―chash 14293  Word cword 14468  Basecbs 17151   Mat cmat 22258  litMatclmat 33321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-pws 17402  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-mat 22259  df-lmat 33322
This theorem is referenced by:  lmat22det  33332
  Copyright terms: Public domain W3C validator